Kette in der Näherung der starken Bindung mit Unordnung W: Eigenfunktionen ψ, Dichte |ψ|², inverses Partizipationsverhältnis IPR(E) und Schätzung der Lokalisierungslänge.
Zum Modell
Anderson-Lokalisierung: in einem ungeordneten Kristall können Eigenzustände räumlich beschränkt bleiben, obwohl sich die Welle auf dem idealen Gitter ausbreitet. Eindimensionaler Hamilton-Operator der starken Bindung auf einer offenen Kette: H = −t Σ_i (|i⟩⟨i+1| + h.c.) + Σ_i ε_i |i⟩⟨i|, wobei die ε_i gleichverteilt auf [−W/2, W/2] sind. Die volle N×N-Matrix wird diagonalisiert; auf dem Bildschirm |ψ_i|², das Profil ε_i, IPR = Σ|ψ_i|⁴ (klein ~1/N bei delokalisierten, groß bei lokalisierten Zuständen) und das Diagramm IPR(E). Die Lokalisierungslänge wird aus der mittleren quadratischen Ausdehnung von |ψ|² und einer Exponentialanpassung ln|ψ| geschätzt. Endliche Länge und offene Ränder sind didaktische Einschränkungen; in einer Dimension sind im unendlichen Grenzfall bei W > 0 alle Zustände lokalisiert.
Für wen: Höhere Semester der Festkörperphysik nach der Bandtheorie.
Wichtige Begriffe
Anderson-Lokalisierung
Näherung der starken Bindung
Unordnung
inverses Partizipationsverhältnis (IPR)
Lokalisierungslänge
Eigenzustand
Zustandsdichte
So funktioniert es
Eindimensionales Anderson-Modell: H = −t Σ(|i⟩⟨i+1| + h.c.) + Σ ε_i |i⟩⟨i|, ε_i gleichverteilt auf [−W/2, W/2]. Die Diagonalisierung liefert E_n und ψ_n; IPR = Σ|ψ_i|⁴ (~1/N delokalisiert, Ordnung 1 — lokalisiert). Oben das Zufallspotential ε_i, in der Mitte |ψ|², unten IPR(E). Die Länge ξ folgt aus der Ausdehnung und aus der Steigung von ln|ψ|.
Häufige Fragen
Was bedeutet der Parameter W?
Zufällige ε_i auf dem Intervall [−W/2, W/2]. Bei W = 0 ist die Kette ideal mit der Bandbreite 4t. Größeres W weitet das Spektrum und verstärkt in einer Dimension die Lokalisierung der Zustände in der Bandmitte.
Wie liest man das IPR?
IPR = Σ|ψ_i|⁴ bei normiertem ψ. Ein delokalisierter Zustand: IPR ~ 1/N. Ein auf wenigen Knoten lokalisierter: IPR von der Größenordnung 1. Die gestrichelte Linie im Diagramm ist das Niveau 1/N.
Wozu die rosa Balken bei |ψ|²?
Die Heuristik IPR > 5/N markiert Zustände, die stärker lokalisiert sind als ein gleichmäßig ausgedehnter Zustand auf dieser endlichen Kette.
Gibt es in einer Dimension eine Mobilitätskante?
In der eindimensionalen Kette mit Unordnung auf den Knoten sind im unendlichen Grenzfall alle Zustände bei jedem W > 0 lokalisiert. Mobilitätskanten sind ein Phänomen höherer Dimensionen.