O que significa o parâmetro W?

Os ε_i aleatórios no intervalo [−W/2, W/2]. Se W = 0, a cadeia é ideal e a largura de banda é 4t. Ao subir W o espectro se alarga e, em uma dimensão, reforça-se a localização dos estados no centro da banda.

IPR = Σ|ψ_i|⁴ com ψ normalizada. Estado deslocalizado: IPR ~ 1/N. Localizado em poucos sítios: IPR da ordem da unidade. O tracejado no gráfico é o nível 1/N.

Para que servem as barras cor-de-rosa em |ψ|²?

A heurística IPR > 5/N marca estados mais localizados que um estado estendido de forma uniforme nesta cadeia finita.

Há limite de mobilidade em uma dimensão?

Numa cadeia unidimensional com desordem nos sítios, no limite infinito todos os estados se localizam para qualquer W > 0. Os limites de mobilidade são um fenômeno de dimensões maiores.

Localização de Anderson em uma cadeia unidimensional

Cadeia de ligação forte com desordem W: autofunções ψ, densidade |ψ|², razão inversa de participação IPR(E) e uma estimativa do comprimento de localização.

Sobre o modelo

A localização de Anderson: num cristal desordenado os autoestados podem ficar espacialmente confinados, embora na rede ideal a onda se propague. Hamiltoniano unidimensional de ligação forte numa cadeia aberta: H = −t Σ_i (|i⟩⟨i+1| + h.c.) + Σ_i ε_i |i⟩⟨i|, com ε_i uniformes em [−W/2, W/2]. Diagonaliza-se a matriz completa N×N; na tela |ψ_i|², o perfil de ε_i, IPR = Σ|ψ_i|⁴ (pequeno ~1/N nos deslocalizados, grande nos localizados) e o diagrama IPR(E). O comprimento de localização estima-se pela extensão quadrática média de |ψ|² e por um ajuste exponencial de ln|ψ|. O comprimento finito e as fronteiras abertas são ressalvas didáticas; em uma dimensão, se W > 0, no limite infinito todos os estados se localizam.

Para quem: Últimos períodos da graduação em física do estado sólido, depois da teoria de bandas.

Conceitos-chave

localização de Anderson
aproximação de ligação forte
desordem
razão inversa de participação (IPR)
comprimento de localização
autoestado
densidade de estados

Como funciona

Modelo de Anderson unidimensional: H = −t Σ(|i⟩⟨i+1| + h.c.) + Σ ε_i |i⟩⟨i|, ε_i uniformes em [−W/2, W/2]. A diagonalização dá E_n e ψ_n; IPR = Σ|ψ_i|⁴ (~1/N deslocalizado, da ordem de 1 — localizado). Em cima o potencial aleatório ε_i, no meio |ψ|², embaixo IPR(E). O comprimento ξ — pela extensão e pela inclinação de ln|ψ|.

Perguntas frequentes

O que significa o parâmetro W?: Os ε_i aleatórios no intervalo [−W/2, W/2]. Se W = 0, a cadeia é ideal e a largura de banda é 4t. Ao subir W o espectro se alarga e, em uma dimensão, reforça-se a localização dos estados no centro da banda.
Como se lê o IPR?: IPR = Σ|ψ_i|⁴ com ψ normalizada. Estado deslocalizado: IPR ~ 1/N. Localizado em poucos sítios: IPR da ordem da unidade. O tracejado no gráfico é o nível 1/N.
Para que servem as barras cor-de-rosa em |ψ|²?: A heurística IPR > 5/N marca estados mais localizados que um estado estendido de forma uniforme nesta cadeia finita.
Há limite de mobilidade em uma dimensão?: Numa cadeia unidimensional com desordem nos sítios, no limite infinito todos os estados se localizam para qualquer W > 0. Os limites de mobilidade são um fenômeno de dimensões maiores.

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