- Le test est fiable à 99 %, alors pourquoi ma probabilité d’être malade après un résultat positif n’est-elle que d’environ 17 % ?
- Parce que les deux sortes d’erreur portent sur des groupes de tailles très différentes. Avec une prévalence de 1 % sur 10 000 personnes, il y a 100 malades et 9 900 personnes saines. Le test détecte 99 des 100 malades (vrais positifs) mais déclare aussi positifs 5 % des personnes saines, soit 495 personnes (faux positifs). Parmi les 594 positifs, seulement 99 sont malades, donc P(D | +) = 99/594 ≈ 0,167. Le chiffre « fiable à 99 % » décrit le test chez les malades ; il ne dit rien du nombre de personnes saines qui peuvent produire de fausses alertes, et ce nombre est fixé par la prévalence.
- Qu’est-ce qui compte le plus pour P(D | +) : augmenter la sensibilité ou augmenter la spécificité ?
- Pour une maladie rare, la spécificité compte bien davantage. La sensibilité multiplie le petit groupe des malades, donc passer de 99 % à 100 % ajoute au plus un vrai positif pour cent malades. La spécificité commande le taux de faux positifs 1 − spécificité, qui multiplie le grand groupe des personnes saines : passer de 95 % à 99 % fait tomber les faux positifs de l’exemple par défaut de 495 à 99, et P(D | +) monte d’environ 17 % à 50 %. Avec une spécificité parfaite, il n’y a plus aucun faux positif et chaque positif est un vrai positif, quelle que soit la prévalence. Pour une affection fréquente (prévalence de 30 %), les deux groupes ont des tailles comparables et la sensibilité reprend de l’importance.
- Pourquoi un second test positif change-t-il autant la probabilité ?
- Après le premier positif, l’a priori n’est plus 1 % mais 16,7 %, et le théorème de Bayes s’applique de nouveau avec ce nouvel a priori. Parmi les 594 positifs du premier tour, il y a 99 malades et 495 personnes saines ; un second test indépendant marque environ 98 des malades et seulement environ 25 des personnes saines, donc P(D | ++) ≈ 98/123 ≈ 0,80. Sous forme de cotes, chaque résultat positif multiplie la cote de la maladie par le même rapport de vraisemblance sens/(1 − spéc) = 0,99/0,05 ≈ 20 : la cote passe de 1 : 99 à environ 1 : 5, puis à environ 4 : 1. Cela suppose que le second résultat est indépendant du premier sachant l’état de maladie ; si la même cause produit un faux positif les deux fois, le gain est plus petit.
- Un résultat négatif est-il aussi trompeur qu’un résultat positif ?
- En général non, pour la raison inverse. La valeur prédictive négative P(¬D | −) = VN / (VN + FN) compare les personnes saines négatives (9 405 dans l’exemple par défaut) aux malades manqués (1). Cela donne 99,99 %, donc un résultat négatif est très rassurant quand la maladie est rare et la sensibilité haute. Le tableau change pour une affection fréquente : avec une prévalence de 30 % et une sensibilité de 90 %, 300 des 3 000 malades d’un groupe de 10 000 sont négatifs et se trouvent parmi 6 300 vrais négatifs, donc P(¬D | −) tombe à environ 95,5 % et un résultat négatif ne permet plus d’écarter la maladie.