- Un intervalle de confiance à 95 % signifie-t-il qu’il y a une probabilité de 95 % que μ se trouve dans l’intervalle que je viens de calculer ?
- Non. La moyenne de la population μ est un nombre fixé, et l’intervalle précis affiché à l’écran le contient ou ne le contient pas ; plus rien n’est aléatoire une fois l’échantillon tiré. Les 95 % décrivent la procédure : si l’on répète l’échantillonnage de nombreuses fois, environ 95 % des intervalles produits contiendront μ. Le simulateur montre exactement cela — chaque barre est une répétition, et le compteur se rapproche de 95 % à mesure que le nombre d’intervalles grandit, même si le dernier intervalle peut très bien être l’un des ratés roses.
- Pourquoi les intervalles se rétrécissent-ils quand n grandit, et de combien ?
- La demi-largeur vaut c·σ/√n (ou c·s/√n), donc la largeur diminue avec la racine carrée de la taille d’échantillon, et non avec n lui-même. Quadrupler n, de 20 à 80, divise la largeur par deux ; passer de n = 20 à n = 200 la réduit d’un facteur d’environ √10 ≈ 3,2. Dans la méthode t, un second effet, plus petit, joue aussi : t* avec ν = n − 1 diminue vers z* quand n grandit, de 2,776 pour n = 5 à 2,093 pour n = 20 et 1,972 pour n = 200, au niveau 95 %. La couverture, en revanche, ne change pas avec n — une procédure correcte à 95 % capture μ environ 95 % du temps, que n vaille 2 ou 200.
- Pourquoi la couverture tombe-t-elle sous 95 % quand je coche « Utiliser z* même si σ est inconnu » ?
- L’intervalle x̄ ± 1,96·s/√n fait comme si s était le vrai σ. Dans un petit échantillon, s est lui-même bruité, et comme sa loi est asymétrique, il tombe sous σ plus souvent qu’au-dessus. Chaque fois que s est trop petit, l’intervalle est trop court et tend à rater μ ; la valeur z* ne compense pas. La valeur critique de Student, elle, compense : elle est plus grande que z* d’exactement ce qu’il faut pour que P(|x̄ − μ| ≤ t*·s/√n) égale le niveau nominal. Pour n = 5, l’écart est grand (t* = 2,776 contre 1,960, et la couverture du z avec s vaut environ 88 %) ; vers n = 30 il est petit (2,045 contre 1,960, couverture d’environ 94 %), d’où vient l’ancienne règle pratique « utiliser z pour n ≥ 30 ».
- Pourquoi l’intervalle de la méthode t change-t-il de largeur à chaque fois, alors que dans la méthode z toutes les barres ont la même longueur ?
- Dans la méthode z, la demi-largeur z*·σ/√n n’utilise que des constantes connues, donc chaque intervalle a la même longueur et seul son centre x̄ se déplace. Dans la méthode t, la demi-largeur t*·s/√n utilise l’écart-type d’échantillon s, recalculé à chaque nouvel échantillon ; s fluctue autour de σ, fortement pour n petit et faiblement pour n grand, donc les barres ont des longueurs différentes. La largeur moyenne indiquée dans l’affichage diffère donc un peu de t*·σ/√n, parce que l’espérance de s est un peu inférieure à σ (le facteur c₄ vaut 0,940 pour n = 5 et 0,987 pour n = 20).