- Der Test ist zu 99 % genau. Warum liegt meine Chance, nach einem positiven Ergebnis krank zu sein, nur bei etwa 17 %?
- Weil die beiden Fehlerarten auf Gruppen sehr verschiedener Größe wirken. Bei 1 % Prävalenz sind unter 10 000 Personen 100 krank und 9 900 gesund. Der Test erkennt 99 der 100 Kranken (richtig Positive), stuft aber auch 5 % der Gesunden falsch ein, das sind 495 Personen (falsch Positive). Unter den 594 Positiven sind nur 99 krank, also P(D | +) = 99/594 ≈ 0,167. Die Angabe „99 % genau“ beschreibt den Test an Kranken; sie sagt nichts darüber, wie viele Gesunde falschen Alarm auslösen können, und diese Zahl setzt die Prävalenz.
- Was zählt für P(D | +) mehr: die Sensitivität zu erhöhen oder die Spezifität?
- Bei einer seltenen Krankheit zählt die Spezifität weit mehr. Die Sensitivität multipliziert die kleine kranke Gruppe, von 99 % auf 100 % kommt also höchstens ein richtig Positiver je hundert Kranke hinzu. Die Spezifität steuert die Falsch-positiv-Rate 1 − spec, die die große gesunde Gruppe multipliziert: von 95 % auf 99 % sinken die falsch Positiven im Beispiel von 495 auf 99, und P(D | +) steigt von etwa 17 % auf 50 %. Bei perfekter Spezifität gibt es gar keine falsch Positiven, und jeder Positive ist ein richtig Positiver, ganz gleich wie hoch die Prävalenz ist. Bei einer häufigen Erkrankung (30 % Prävalenz) sind die beiden Gruppen von ähnlicher Größe, und die Sensitivität gewinnt ihre Bedeutung zurück.
- Warum ändert ein zweiter positiver Test die Wahrscheinlichkeit so stark?
- Nach dem ersten Positiven ist das A-priori nicht mehr 1 %, sondern 16,7 %, und der Satz von Bayes wird mit diesem neuen A-priori erneut angewendet. Unter den 594 Positiven der ersten Runde sind 99 krank und 495 gesund; ein zweiter unabhängiger Test markiert etwa 98 der Kranken und nur etwa 25 der Gesunden, also P(D | ++) ≈ 98/123 ≈ 0,80. In der Chancenform multipliziert jedes positive Ergebnis die Chancen der Krankheit mit demselben Likelihood-Quotienten sens/(1 − spec) = 0,99/0,05 ≈ 20: die Chancen gehen von 1 : 99 auf etwa 1 : 5 und dann auf etwa 4 : 1. Das setzt voraus, dass das zweite Ergebnis bei gegebenem Krankheitsstatus vom ersten unabhängig ist; erzeugt dieselbe Ursache beide Male ein falsch positives Ergebnis, ist der Gewinn kleiner.
- Ist ein negatives Ergebnis ebenso irreführend wie ein positives?
- Meist nicht, aus demselben Grund in umgekehrter Richtung. Der negative Vorhersagewert P(¬D | −) = TN / (TN + FN) vergleicht die Gesunden mit negativem Test (9 405 im Beispiel) mit den Kranken, die übersehen werden (1). Das ergibt 99,99 %, ein negatives Ergebnis ist also sehr beruhigend, wenn die Krankheit selten und die Sensitivität hoch ist. Bei einer häufigen Erkrankung ändert sich das Bild: bei 30 % Prävalenz und 90 % Sensitivität werden 300 der 3 000 Kranken in einer Gruppe von 10 000 negativ getestet und sitzen unter 6 300 richtig Negativen, P(¬D | −) sinkt also auf etwa 95,5 %, und ein negatives Ergebnis schließt die Krankheit nicht mehr aus.