La loi parente est plate (ou asymétrique, ou à deux bosses) — pourquoi les moyennes forment-elles quand même une courbe en cloche ?

Une moyenne d’échantillon additionne n contributions indépendantes, et une somme de nombreux petits morceaux indépendants est dominée par la façon dont ces morceaux se combinent, non par la forme d’un morceau pris isolément. Mathématiquement, la fonction caractéristique de la somme centrée réduite tend vers celle de la loi normale centrée réduite lorsque la loi parente a une variance finie. La forme de la loi parente ne commande que la vitesse à laquelle cela se produit : pour l’uniforme, l’histogramme des moyennes est déjà proche de la normale à n = 5, l’exponentielle a besoin d’environ n = 30 pour que sa queue droite s’estompe, et la loi parente bimodale paraît normale dès que n est assez grand pour qu’une moyenne recouvre les deux bosses. À n = 1, l’histogramme des moyennes est simplement la loi parente elle-même, c’est pourquoi ce réglage est le point de départ naturel.

Pourquoi l’étalement des moyennes diminue-t-il comme σ/√n et non comme σ/n ?

Les variances de variables indépendantes s’additionnent. La somme x₁ + … + xₙ a pour variance nσ², et diviser la somme par n divise la variance par n², ce qui laisse σ²/n. La racine carrée donne l’écart-type de la moyenne, σ/√n, appelé erreur type. Quadrupler n ne fait donc que diviser l’étalement par deux : comparez n = 5 et n = 20, ou lisez l’erreur type théorique et l’écart-type empirique des moyennes dans l’affichage — ils concordent dès que quelques centaines de moyennes ont été recueillies.

Quelle est la différence entre la taille d’échantillon n et le nombre de moyennes recueillies ?

Ils n’ont pas le même rôle. La taille d’échantillon n est le nombre de valeurs de la loi parente dont on fait la moyenne pour obtenir une moyenne ; elle décide de la forme et de la largeur de la distribution d’échantillonnage, par l’erreur type σ/√n et le théorème central limite. Le nombre de moyennes recueillies décide de la fidélité avec laquelle l’histogramme montre cette distribution d’échantillonnage : avec 20 moyennes l’histogramme est irrégulier, avec 1 000 il est lisse. Augmenter le nombre de moyennes ne rend jamais l’histogramme plus étroit ; seule l’augmentation de n le fait.

D’où viennent les valeurs exactes de μ et de σ pour chaque loi parente ?

Elles découlent des définitions E[X] = ∫x f(x) dx (ou Σx p(x)) et σ² = E[X²] − μ². Pour U(0,1), E[X] = 1/2 et E[X²] = 1/3, donc σ² = 1/12. Pour l’exponentielle de taux 1, μ = 1 et E[X²] = 2, donc σ = 1. Pour une binomiale, μ = np et σ² = np(1 − p), ce qui donne 2 et 1,6 pour n = 10, p = 0,2. Pour un dé équilibré, μ = 3,5 et E[X²] = 91/6, donc σ² = 91/6 − 49/4 = 35/12. Pour le mélange à poids égaux de N(−1,5 ; 0,5²) et de N(1,5 ; 0,5²), μ = 0 et σ² = 0,5² + 1,5² = 2,5, car la variance d’un mélange est la moyenne des variances internes aux composantes, plus la variance des moyennes des composantes.

Théorème central limite

Choisissez une loi parente (uniforme, exponentielle, binomiale, dé) et tirez des échantillons de taille n = 1, 5, 30 ; l’histogramme des moyennes devient normal et son étalement se resserre comme σ/√n.

Échantillonnage

Loi parente

Taille d’échantillon n5

Vitesse du tirage auto4 éch./s

Superposer la normale N(μ, σ²/n)

Chaque échantillon est fait de n tirages indépendants de la loi parente choisie ; sa moyenne x̄ est une entrée de l’histogramme du bas. Changer la loi parente ou n recommence la collecte des moyennes. L’axe des x de l’histogramme est fixé à l’étendue de la loi parente, donc l’étalement des moyennes se resserre visiblement comme σ/√n quand n grandit. Réinitialiser tire une nouvelle graine aléatoire.

Raccourcis clavier

Espace / Entrée — tirer un échantillon
P — tirage automatique : marche / arrêt
R — réinitialiser (nouvelle graine)

Mesures

Moyenne parente μ0.5000 (1/2)

Écart-type σ de la parente0.2887 (1/√12)

Taille d’échantillon n5

Moyennes recueillies0

Dernière moyenne x̄—

Moyenne des moyennes—

Écart-type des moyennes (empirique)—

σ/√n (théorie)0.1291

Asymétrie des moyennes—

À propos du modèle

Le simulateur tire des échantillons de taille n dans une loi parente choisie, réduit chaque échantillon à sa moyenne x̄ = (x₁ + … + xₙ)/n et rassemble ces moyennes dans un histogramme. Cinq lois parentes sont disponibles, chacune avec une moyenne μ et un écart-type σ sous forme explicite : l’uniforme U(0,1) (μ = 1/2, σ = 1/√12 ≈ 0,2887), l’exponentielle de taux 1 (μ = 1, σ = 1), la binomiale Bin(10 ; 0,2) (μ = np = 2, σ = √(np(1−p)) = √1,6 ≈ 1,265), un dé équilibré à six faces (μ = 3,5, σ = √(35/12) ≈ 1,708) et un mélange à poids égaux de deux normales centrées en ±1,5, d’écart-type 0,5 (μ = 0, σ = √(0,5² + 1,5²) = √2,5 ≈ 1,581). Les tirages, indépendants et identiquement distribués, viennent d’un générateur pseudo-aléatoire à graine (mulberry32), si bien qu’une session est reproductible jusqu’à ce que Réinitialiser choisisse une nouvelle graine ; l’exponentielle est tirée par inversion, la binomiale comme somme de dix épreuves de Bernoulli, le mélange par la transformation de Box–Muller. Pour toute loi parente de variance finie, E[x̄] = μ et l’écart-type de x̄ vaut σ/√n exactement, pour tout n. Le théorème central limite y ajoute la forme : quand n grandit, la loi de (x̄ − μ)/(σ/√n) se rapproche de la normale centrée réduite, donc l’histogramme des moyennes se rapproche de N(μ, σ²/n). La courbe superposée est cette normale mise à l’échelle du nombre de moyennes recueillies et de la largeur de classe, les traits tiretés marquent μ et μ ± σ/√n, et l’affichage compare l’erreur type théorique σ/√n à l’écart-type empirique des moyennes recueillies (diviseur N − 1). L’asymétrie des moyennes, m₃/m₂^{3/2}, est affichée parce qu’elle montre comment celle d’une loi parente asymétrique (exponentielle, binomiale avec p = 0,2) décroît à peu près comme 1/√n. Les classes ont une largeur d’environ σ/(3√n), si bien qu’une cloche à ±3 erreurs types couvre toujours environ dix-huit classes ; pour les lois parentes discrètes, la largeur est arrondie à un multiple de 1/n afin que chaque moyenne possible k/n tombe au centre d’une classe. L’axe des x est fixé à l’étendue de la loi parente, de sorte que le rétrécissement de l’histogramme avec n se voit directement. Simplifications : la loi parente est entièrement connue, les tirages sont indépendants et identiquement distribués, il n’y a pas de correction pour population finie, et la vitesse de convergence n’est pas quantifiée (la borne de Berry–Esseen n’est pas tracée). Simulateurs associés : statistics/law-of-large-numbers (convergence d’une seule moyenne empirique), statistics/normal-distribution (la courbe limite et les scores z), statistics/galton-board et statistics/binomial-distribution (une binomiale qui devient normale), statistics/confidence-interval (où σ/√n sert en pratique).

Public : Terminale et début de licence : statistique, théorème central limite, premier cours de probabilités.

Notions clés

théorème central limite
moyenne d’échantillon
erreur type σ/√n
loi parente (de la population)
distribution d’échantillonnage
approximation normale
asymétrie
indépendants et identiquement distribués

Comment ça marche

Choisissez une loi parente — plate, asymétrique, discrète ou même à deux bosses — et tirez-en des échantillons de n valeurs. Chaque échantillon se réduit à un seul nombre, sa moyenne d’échantillon x̄, et cette moyenne est déposée dans l’histogramme du bas. Quelle que soit l’allure de la loi parente, les moyennes s’empilent autour de la moyenne parente μ, et à mesure que d’autres moyennes arrivent l’histogramme prend la forme d’une loi normale N(μ, σ²/n) : c’est le théorème central limite. Sa largeur est l’erreur type σ/√n, donc quadrupler n divise l’étalement par deux — comparez n = 1, 5 et 30 sur l’axe des x fixe. Le modèle est idéalisé : les tirages sont indépendants et identiquement distribués, et les μ et σ de la loi parente sont connus exactement, sous forme explicite.

Formules

x̄ = (x₁ + … + xₙ)/n, E[x̄] = μ

écart-type(x̄) = σ/√n (erreur type de la moyenne)

TCL : (x̄ − μ)/(σ/√n) → N(0, 1) quand n → ∞, soit x̄ ≈ N(μ, σ²/n)

μ, σ : U(0,1) : 1/2, 1/√12 · Exp(1) : 1, 1 · Bin(10 ; 0,2) : 2, √1,6 · dé : 3,5, √(35/12) · bimodale ½N(−1,5 ; 0,5²)+½N(1,5 ; 0,5²) : 0, √2,5

Questions fréquentes

La loi parente est plate (ou asymétrique, ou à deux bosses) — pourquoi les moyennes forment-elles quand même une courbe en cloche ?: Une moyenne d’échantillon additionne n contributions indépendantes, et une somme de nombreux petits morceaux indépendants est dominée par la façon dont ces morceaux se combinent, non par la forme d’un morceau pris isolément. Mathématiquement, la fonction caractéristique de la somme centrée réduite tend vers celle de la loi normale centrée réduite lorsque la loi parente a une variance finie. La forme de la loi parente ne commande que la vitesse à laquelle cela se produit : pour l’uniforme, l’histogramme des moyennes est déjà proche de la normale à n = 5, l’exponentielle a besoin d’environ n = 30 pour que sa queue droite s’estompe, et la loi parente bimodale paraît normale dès que n est assez grand pour qu’une moyenne recouvre les deux bosses. À n = 1, l’histogramme des moyennes est simplement la loi parente elle-même, c’est pourquoi ce réglage est le point de départ naturel.
Pourquoi l’étalement des moyennes diminue-t-il comme σ/√n et non comme σ/n ?: Les variances de variables indépendantes s’additionnent. La somme x₁ + … + xₙ a pour variance nσ², et diviser la somme par n divise la variance par n², ce qui laisse σ²/n. La racine carrée donne l’écart-type de la moyenne, σ/√n, appelé erreur type. Quadrupler n ne fait donc que diviser l’étalement par deux : comparez n = 5 et n = 20, ou lisez l’erreur type théorique et l’écart-type empirique des moyennes dans l’affichage — ils concordent dès que quelques centaines de moyennes ont été recueillies.
Quelle est la différence entre la taille d’échantillon n et le nombre de moyennes recueillies ?: Ils n’ont pas le même rôle. La taille d’échantillon n est le nombre de valeurs de la loi parente dont on fait la moyenne pour obtenir une moyenne ; elle décide de la forme et de la largeur de la distribution d’échantillonnage, par l’erreur type σ/√n et le théorème central limite. Le nombre de moyennes recueillies décide de la fidélité avec laquelle l’histogramme montre cette distribution d’échantillonnage : avec 20 moyennes l’histogramme est irrégulier, avec 1 000 il est lisse. Augmenter le nombre de moyennes ne rend jamais l’histogramme plus étroit ; seule l’augmentation de n le fait.
D’où viennent les valeurs exactes de μ et de σ pour chaque loi parente ?: Elles découlent des définitions E[X] = ∫x f(x) dx (ou Σx p(x)) et σ² = E[X²] − μ². Pour U(0,1), E[X] = 1/2 et E[X²] = 1/3, donc σ² = 1/12. Pour l’exponentielle de taux 1, μ = 1 et E[X²] = 2, donc σ = 1. Pour une binomiale, μ = np et σ² = np(1 − p), ce qui donne 2 et 1,6 pour n = 10, p = 0,2. Pour un dé équilibré, μ = 3,5 et E[X²] = 91/6, donc σ² = 91/6 − 49/4 = 35/12. Pour le mélange à poids égaux de N(−1,5 ; 0,5²) et de N(1,5 ; 0,5²), μ = 0 et σ² = 0,5² + 1,5² = 2,5, car la variance d’un mélange est la moyenne des variances internes aux composantes, plus la variance des moyennes des composantes.

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