Après dix faces d’affilée, la pièce ne me « doit »-elle pas un pile ?

Non. Chaque lancer d’une pièce équilibrée est indépendant, donc la probabilité de face reste 1/2 quoi qu’il se soit passé avant. La loi des grands nombres ne fonctionne pas par compensation : elle dit que la proportion de faces se rapproche de 1/2, et non que le nombre de faces se rapproche du nombre de piles. En fait, l’écart de compte #faces − #piles croît en général comme √n. L’excès de faces n’est pas annulé ; il est dilué, parce qu’on le divise par un n de plus en plus grand.

Combien de lancers faut-il avant que la moyenne empirique soit à moins de 0,01 de 1/2 ?

L’écart-type de la moyenne empirique est σ/√n, avec σ = 1/2 pour une pièce équilibrée. Poser σ/√n = 0,01 donne n = 2 500 pour une erreur typique d’un écart-type ; pour être dans ±0,01 pour environ 95 % des séries, il faut 2σ/√n = 0,01, soit n = 10 000. À cause de la racine carrée, une décimale de précision en plus coûte toujours cent fois plus d’épreuves, ce qui explique que la convergence paraisse si lente sur le graphique.

Pourquoi environ 68 % des séries se trouvent-elles dans la bande μ ± σ/√n, et pourquoi pas exactement ?

Pour des épreuves indépendantes, la variance de x̄ₙ vaut exactement σ²/n, donc σ/√n est son écart-type exact. Par le théorème central limite, x̄ₙ est approximativement normale dès que n atteint quelques dizaines ou plus, et une variable normale se trouve à moins d’un écart-type de sa moyenne avec la probabilité 0,683. La valeur n’est qu’approximative pour les petits n, quand la loi de x̄ₙ est encore discrète et asymétrique (surtout pour la pièce déséquilibrée), et avec seulement 5 ou 8 séries la fraction observée ne peut prendre que quelques valeurs, si bien qu’elle fluctue autour de 68 % au lieu de l’égaler.

La loi des grands nombres vaut-elle aussi pour la pièce déséquilibrée et pour la roulette ?

Oui. La loi n’exige que des issues indépendantes et identiquement distribuées, de moyenne finie ; pour la vitesse de convergence, une variance finie suffit. La moyenne empirique de la pièce déséquilibrée converge vers p = 0,3, et celle du pari à la roulette vers 18/37 ≈ 0,486, et non vers 1/2. Pour un joueur, c’est la mauvaise nouvelle : le gain moyen par coup converge vers un nombre négatif (−1/37 de la mise pour un pari payé 1 pour 1), donc jouer plus longtemps rend la perte plus certaine, et non moins.

Loi des grands nombres

Pièce ou dé : la moyenne empirique x̄ₙ de plusieurs séries converge vers μ ; l’enveloppe ±σ/√n montre à quel point c’est lent.

Expérience

Expérience aléatoire

Séries en parallèle5

Épreuves par seconde: 2048/100

Enveloppe μ ± σ/√nEnveloppe μ ± 2σ/√nMontrer l’écart de compte à la place (Sₙ − nμ, p. ex. #faces − n/2)

Chaque série tire des issues indépendantes d’un générateur aléatoire à graine (Réinitialiser change la graine ; changer d’expérience la conserve). La moyenne empirique est mise à jour de façon incrémentale, x̄ₙ = x̄ₙ₋₁ + (xₙ − x̄ₙ₋₁)/n, et μ, σ sont exacts : pièce μ = p, σ = √(p(1−p)) ; dé μ = 3,5, σ = √(35/12). La loi des grands nombres dit que la moyenne converge vers μ — l’écart de compte Sₙ − nμ ne diminue pas ; sa taille typique croît comme σ√n.

Raccourcis clavier

Espace / Entrée — une épreuve pour chaque série
P — lecture / pause
R — réinitialiser (nouvelle graine)

Mesures

μ (théorie)0.5000

σ (une épreuve)0.5000

Épreuves n jusqu’ici0

x̄ₙ (série 1)—

|x̄ₙ − μ| (série 1)—

σ/√n au n actuel—

Écart des séries (max − min)—

Séries dans μ ± σ/√n—

Écart de compte Sₙ − nμ (série 1)—

À propos du modèle

Le simulateur répète de nombreuses fois une expérience aléatoire et suit la moyenne empirique x̄ₙ = (x₁ + … + xₙ)/n tandis que le nombre d’épreuves n passe de 1 à 10 000. Quatre expériences sont proposées, chacune avec l’espérance μ et l’écart-type σ d’une issue, sous forme explicite : une pièce équilibrée, face comptée 1 (μ = 1/2, σ = 1/2), un dé équilibré à six faces (μ = 3,5, σ = √(35/12) ≈ 1,708), une pièce déséquilibrée avec P(face) = 0,3 (μ = 0,3, σ = √(0,3·0,7) ≈ 0,458) et un pari sur le rouge à la roulette à un seul zéro, 18 cases rouges sur 37 (μ = 18/37 ≈ 0,486, σ = √(μ(1−μ)) ≈ 0,500). Jusqu’à huit séries indépendantes sont tirées en parallèle par un générateur pseudo-aléatoire à graine (mulberry32), si bien qu’une session est reproductible jusqu’à ce que Réinitialiser tire une nouvelle graine ; la moyenne empirique est mise à jour de façon incrémentale, x̄ₙ = x̄ₙ₋₁ + (xₙ − x̄ₙ₋₁)/n, ce qui est numériquement stable et n’exige pas de stocker la liste de l’échantillon. Le graphique utilise un axe des n logarithmique, afin que les fortes fluctuations du début et la lente convergence de la fin apparaissent sur la même figure. La droite horizontale jaune est μ ; l’enveloppe colorée μ ± σ/√n est l’écart-type exact de x̄ₙ pour des épreuves indépendantes, Var(x̄ₙ) = σ²/n, et la seconde bande, facultative, est μ ± 2σ/√n. Dès que n atteint quelques dizaines ou plus, le théorème central limite rend x̄ₙ approximativement normale, si bien qu’environ 68 % des séries doivent se trouver dans la première bande et environ 95 % dans la seconde ; l’affichage compte combien des séries en cours s’y trouvent. La case « Montrer l’écart de compte » redessine les mêmes données sous la forme Sₙ − nμ (pour la pièce équilibrée, exactement #faces − n/2). Son écart-type est σ√n : l’écart de compte ne diminue pas, il grandit, même si la moyenne converge — la loi des grands nombres est un énoncé sur les moyennes, non sur les comptes, et elle ne « compense » jamais les issues passées. Simplifications : les issues sont indépendantes et identiquement distribuées, de variance finie (les hypothèses des lois faible et forte), le générateur est pseudo-aléatoire, et la figure s’arrête à n = 10⁴. Simulateurs associés sur ce site : statistics/galton-board et statistics/binomial-distribution (la loi de Sₙ elle-même), statistics/central-limit-theorem (pourquoi x̄ₙ devient normale), statistics/confidence-interval (qui utilise σ/√n pour construire un intervalle pour μ) et math/monte-carlo-pi et math/monte-carlo-integration-variance-reduction (la même loi d’erreur en 1/√n dans l’estimation de Monte-Carlo).

Public : Lycée (seconde à terminale) et première année de licence : introduction aux probabilités et à la statistique.

Notions clés

loi des grands nombres
moyenne empirique
espérance μ
écart-type σ
erreur type σ/√n
épreuves indépendantes
sophisme du joueur
convergence en probabilité

Comment ça marche

Chaque série répète la même expérience aléatoire — une pièce équilibrée (face = 1), un dé équilibré, une pièce déséquilibrée avec p = 0,3 ou un pari à la roulette sur le rouge (18 cases sur 37) — et trace la moyenne empirique x̄ₙ en fonction du nombre d’épreuves n, sur un axe logarithmique, de sorte que les fortes oscillations du début et la lente convergence de la fin se voient ensemble. La loi des grands nombres dit que x̄ₙ converge vers l’espérance μ ; l’enveloppe jaune μ ± σ/√n est l’écart-type de x̄ₙ, donc environ 68 % des séries s’y trouvent à chaque n, et elle ne se resserre que comme 1/√n — cent fois plus d’épreuves achètent une décimale de plus. La loi porte sur la moyenne, pas sur le compte : cochez « Montrer l’écart de compte » et les mêmes données sont tracées sous la forme Sₙ − nμ (#faces − n/2 pour la pièce), qui ne revient pas à zéro mais erre avec une taille typique σ√n — il n’existe pas de « loi des moyennes » qui vous devrait pile après une suite de faces. Les issues viennent d’un générateur à graine, donc une série est reproductible jusqu’à ce que vous appuyiez sur Réinitialiser.

Formules

x̄ₙ = (x₁ + … + xₙ)/n → μ quand n → ∞ (P(|x̄ₙ − μ| > ε) → 0 pour tout ε > 0)

écart-type(x̄ₙ) = σ/√n — diminue ; écart-type(Sₙ − nμ) = σ√n — grandit

x̄ₙ = x̄ₙ₋₁ + (xₙ − x̄ₙ₋₁)/n (mise à jour incrémentale)

pièce : μ = p, σ = √(p(1−p)) ; dé : μ = 3,5, σ = √(35/12) ≈ 1,708 ; rouge : p = 18/37

Questions fréquentes

Après dix faces d’affilée, la pièce ne me « doit »-elle pas un pile ?: Non. Chaque lancer d’une pièce équilibrée est indépendant, donc la probabilité de face reste 1/2 quoi qu’il se soit passé avant. La loi des grands nombres ne fonctionne pas par compensation : elle dit que la proportion de faces se rapproche de 1/2, et non que le nombre de faces se rapproche du nombre de piles. En fait, l’écart de compte #faces − #piles croît en général comme √n. L’excès de faces n’est pas annulé ; il est dilué, parce qu’on le divise par un n de plus en plus grand.
Combien de lancers faut-il avant que la moyenne empirique soit à moins de 0,01 de 1/2 ?: L’écart-type de la moyenne empirique est σ/√n, avec σ = 1/2 pour une pièce équilibrée. Poser σ/√n = 0,01 donne n = 2 500 pour une erreur typique d’un écart-type ; pour être dans ±0,01 pour environ 95 % des séries, il faut 2σ/√n = 0,01, soit n = 10 000. À cause de la racine carrée, une décimale de précision en plus coûte toujours cent fois plus d’épreuves, ce qui explique que la convergence paraisse si lente sur le graphique.
Pourquoi environ 68 % des séries se trouvent-elles dans la bande μ ± σ/√n, et pourquoi pas exactement ?: Pour des épreuves indépendantes, la variance de x̄ₙ vaut exactement σ²/n, donc σ/√n est son écart-type exact. Par le théorème central limite, x̄ₙ est approximativement normale dès que n atteint quelques dizaines ou plus, et une variable normale se trouve à moins d’un écart-type de sa moyenne avec la probabilité 0,683. La valeur n’est qu’approximative pour les petits n, quand la loi de x̄ₙ est encore discrète et asymétrique (surtout pour la pièce déséquilibrée), et avec seulement 5 ou 8 séries la fraction observée ne peut prendre que quelques valeurs, si bien qu’elle fluctue autour de 68 % au lieu de l’égaler.
La loi des grands nombres vaut-elle aussi pour la pièce déséquilibrée et pour la roulette ?: Oui. La loi n’exige que des issues indépendantes et identiquement distribuées, de moyenne finie ; pour la vitesse de convergence, une variance finie suffit. La moyenne empirique de la pièce déséquilibrée converge vers p = 0,3, et celle du pari à la roulette vers 18/37 ≈ 0,486, et non vers 1/2. Pour un joueur, c’est la mauvaise nouvelle : le gain moyen par coup converge vers un nombre négatif (−1/37 de la mise pour un pari payé 1 pour 1), donc jouer plus longtemps rend la perte plus certaine, et non moins.

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