Pourquoi le numéro de la case est-il égal au nombre de rebonds à droite ?

Chaque rebond déplace la bille d’une demi-largeur de case vers la gauche ou vers la droite. Après n rebonds, dont k à droite et n − k à gauche, le déplacement net est (k − (n − k))/2 = k − n/2 largeurs de case à partir du centre. Numéroter 0 la case la plus à gauche (tous les rebonds à gauche) transforme ce déplacement en indice de case k. La case où tombe une bille est donc simplement un compte de succès en n épreuves indépendantes, ce qui est exactement la définition d’une variable aléatoire binomiale.

Pourquoi le tas culmine-t-il au milieu, au lieu d’être plat ?

Il n’y a qu’un chemin vers la case tout à gauche (gauche, gauche, gauche, …) mais beaucoup de chemins vers les cases centrales : le nombre de chemins vers la case k est le coefficient binomial C(n, k), maximal près de k = n/2. Avec une planche équilibrée (p = 0,5), chaque chemin est équiprobable, donc les probabilités des cases sont proportionnelles à C(n, k) — le triangle de Pascal. Avec une planche déséquilibrée, les chemins ne sont plus équiprobables et la case la plus probable se déplace vers environ np.

Combien de rangées faut-il avant que la courbe normale s’ajuste ?

La binomiale est proche de N(np, np(1 − p)) lorsque np et n(1 − p) sont tous deux assez grands ; une règle pratique courante demande au moins 5 à 10 pour chacun. Pour p = 0,5, douze rangées donnent déjà un bon ajustement, tandis que pour p = 0,1 il faut beaucoup de rangées, car la loi est tassée contre la case 0 et reste visiblement asymétrique. Le simulateur permet de le vérifier directement : choisissez p = 0,2 avec 4 rangées, puis avec 20 rangées, et comparez la courbe rose aux repères jaunes.

Pourquoi l’écart-type mesuré ne croît-il pas proportionnellement au nombre de rangées ?

Chaque rebond ajoute un pas indépendant dont la variance est p(1 − p). Les variances de pas indépendants s’additionnent, donc après n rangées la variance est np(1 − p) et l’écart-type est √(np(1 − p)). Doubler les rangées ne multiplie donc l’étalement que par √2 ≈ 1,41, et non par 2. Par rapport à la largeur totale de la planche (n + 1 cases), le tas devient en fait plus étroit quand n grandit, ce qui est une façon de voir la loi des grands nombres.

Planche de Galton (machine à billes)

Des billes rebondissent à gauche ou à droite le long de rangées de clous ; les cases dessinent une binomiale qui devient une courbe en cloche. Peu de rangées, ou beaucoup.

Planche

Rangées de clous n12

Probabilité de rebond à droite p0.5

Cadence des billes (flux)20 billes/s

Superpositions

Espérance binomiale B(rangées, p)Approximation normale N(np, np(1−p))

Chaque bille est une suite indépendante de n épreuves de Bernoulli : à chaque clou elle part à droite avec la probabilité p, donc son indice de case est le nombre de rebonds à droite et suit exactement B(n, p). Au plus 150 billes sont animées à la fois ; les autres tombent directement dans les cases, à partir du même flux aléatoire à graine. Les deux superpositions sont mises à l’échelle du nombre de billes déjà dans les cases. Changer n ou p vide la planche ; Réinitialiser tire aussi une nouvelle graine.

Raccourcis clavier

Espace / Entrée — lâcher 100 billes
P — flux : lecture / pause
R — réinitialiser (nouvelle graine)

Mesures

Billes dans les cases N0

Billes en vol0

Rangées n12

p (droite)0.50

Moyenne attendue np6.00

Écart-type attendu √(np(1−p))1.732

Moyenne empirique de l’indice de case—

Écart-type empirique de l’indice—

Fraction dans la case la plus pleine—

À propos du modèle

Le simulateur représente la machine à billes de Galton (quinconce) : une bille lâchée en haut d’un réseau triangulaire de n rangées de clous rencontre exactement un clou par rangée et est déviée d’un demi-pas vers la droite avec la probabilité p, ou vers la gauche avec la probabilité 1 − p. Les déviations sont indépendantes les unes des autres et de tout ce qui s’est passé avant, si bien que le trajet d’une bille est une suite de n épreuves de Bernoulli. Si k des n rebonds vont à droite, la bille finit k demi-pas à droite des n − k rebonds à gauche, c’est-à-dire dans la case numéro k comptée depuis la gauche, avec k = 0, 1, …, n. Le nombre de billes dans la case k suit donc une loi binomiale : avec N billes, l’effectif attendu est N · C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, l’indice moyen de case est np et son écart-type est √(np(1 − p)). Les repères jaunes tracent exactement cette espérance, calculée à partir des logarithmes de factorielles ; la courbe rose est la densité normale N(np, np(1 − p)) multipliée par N (largeur de case 1), soit l’approximation de de Moivre–Laplace de la binomiale. Les deux superpositions sont remises à l’échelle du nombre de billes déjà dans les cases, afin que la comparaison avec l’histogramme reste juste à chaque instant. L’affichage donne la moyenne empirique et l’écart-type (de la population) des indices de cases atteintes, à côté des valeurs théoriques np et √(np(1 − p)), ainsi que la fraction de billes dans la case la plus pleine, qui se rapproche de la plus grande probabilité binomiale quand n grandit. Simplifications : les billes ne se heurtent pas entre elles, la forme des clous et la taille des billes ne jouent aucun rôle, chaque rebond est un lancer de pièce idéal de probabilité p, et l’animation ne montre qu’au plus 150 billes tandis que les autres sont ajoutées aux cases instantanément ; toutes les décisions aléatoires viennent d’un seul générateur à graine, si bien qu’un essai peut être répété après Réinitialiser au cours d’une session. Régler p ≠ 0,5 montre comment une planche déséquilibrée déforme le tas, et comment l’approximation normale se dégrade quand np ou n(1 − p) est petit. Simulateurs associés : statistics/binomial-distribution pour la fonction de masse seule, statistics/normal-distribution pour la courbe en cloche et les scores z, statistics/central-limit-theorem pour les sommes de nombreux pas indépendants en général, et statistics/law-of-large-numbers pour la façon dont la moyenne empirique se stabilise à np.

Public : Du collège (à partir de 13 ans) au début de la licence : statistique et probabilités, première rencontre visuelle avec la loi binomiale et sa limite normale.

Notions clés

épreuve de Bernoulli
loi binomiale
espérance np
écart-type √(np(1−p))
approximation normale
théorème de de Moivre–Laplace
indépendance
histogramme

Comment ça marche

Une bille lâchée dans une planche de Galton rencontre un clou par rangée et part à droite avec la probabilité p, ou à gauche avec la probabilité 1 − p, indépendamment à chaque clou. Après n rangées, la bille tombe dans la case k, où k est simplement le nombre de rebonds à droite, si bien que les effectifs des cases suivent la loi binomiale B(n, p), de moyenne np et d’écart-type √(np(1 − p)). Avec beaucoup de rangées, l’escalier des cases est bien décrit par la courbe normale N(np, np(1 − p)) — une image concrète du théorème de de Moivre–Laplace. La simulation ignore les chocs entre billes et la géométrie des clous : chaque rebond est un lancer de pièce idéal, tiré d’un générateur aléatoire à graine.

Formules

P(K = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, k = nombre de rebonds à droite = indice de case

E[K] = n p, écart-type(K) = √(n p (1 − p))

n grand : effectif attendu dans la case k ≈ N · φ((k − np)/σ) / σ, σ = √(np(1 − p))

Questions fréquentes

Pourquoi le numéro de la case est-il égal au nombre de rebonds à droite ?: Chaque rebond déplace la bille d’une demi-largeur de case vers la gauche ou vers la droite. Après n rebonds, dont k à droite et n − k à gauche, le déplacement net est (k − (n − k))/2 = k − n/2 largeurs de case à partir du centre. Numéroter 0 la case la plus à gauche (tous les rebonds à gauche) transforme ce déplacement en indice de case k. La case où tombe une bille est donc simplement un compte de succès en n épreuves indépendantes, ce qui est exactement la définition d’une variable aléatoire binomiale.
Pourquoi le tas culmine-t-il au milieu, au lieu d’être plat ?: Il n’y a qu’un chemin vers la case tout à gauche (gauche, gauche, gauche, …) mais beaucoup de chemins vers les cases centrales : le nombre de chemins vers la case k est le coefficient binomial C(n, k), maximal près de k = n/2. Avec une planche équilibrée (p = 0,5), chaque chemin est équiprobable, donc les probabilités des cases sont proportionnelles à C(n, k) — le triangle de Pascal. Avec une planche déséquilibrée, les chemins ne sont plus équiprobables et la case la plus probable se déplace vers environ np.
Combien de rangées faut-il avant que la courbe normale s’ajuste ?: La binomiale est proche de N(np, np(1 − p)) lorsque np et n(1 − p) sont tous deux assez grands ; une règle pratique courante demande au moins 5 à 10 pour chacun. Pour p = 0,5, douze rangées donnent déjà un bon ajustement, tandis que pour p = 0,1 il faut beaucoup de rangées, car la loi est tassée contre la case 0 et reste visiblement asymétrique. Le simulateur permet de le vérifier directement : choisissez p = 0,2 avec 4 rangées, puis avec 20 rangées, et comparez la courbe rose aux repères jaunes.
Pourquoi l’écart-type mesuré ne croît-il pas proportionnellement au nombre de rangées ?: Chaque rebond ajoute un pas indépendant dont la variance est p(1 − p). Les variances de pas indépendants s’additionnent, donc après n rangées la variance est np(1 − p) et l’écart-type est √(np(1 − p)). Doubler les rangées ne multiplie donc l’étalement que par √2 ≈ 1,41, et non par 2. Par rapport à la largeur totale de la planche (n + 1 cases), le tas devient en fait plus étroit quand n grandit, ce qui est une façon de voir la loi des grands nombres.

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Choisissez une loi parente (uniforme, exponentielle, binomiale, dé) et tirez des échantillons de taille n = 1, 5, 30 ; l’histogramme des moyennes devient normal et son étalement se resserre comme σ/√n.

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Loi binomiale

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Barres de P(K = k) pour n épreuves de probabilité de succès p ; moyenne np, variance np(1−p) ; préréglages pièce et événement rare ; normale superposée quand n est grand.

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