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Accueil/Visualisation mathématique/Ondelette de Morlet

Ondelette de Morlet

Transformée en ondelettes continue avec l’ondelette complexe de Morlet : scalogramme |W(s,t)|, axe logarithmique des fréquences, cône d’influence, ω₀ et intervalle d’échelles.

Signal et ondelette

Cas de signal

6
80
10Hz
220Hz
40dB
2.048s

Raccourcis clavier

  • •Faites glisser le curseur sur le scalogramme pour déplacer le marqueur

Mesures

ω₀6.0
échelles80
bande de f (Hz)10…220
f du pic au curseur108.8Hz
Q ≈ ω₀/√24.24

À propos du modèle

L’ondelette de Morlet entre dans la transformée en ondelettes continue : le signal est comparé à des copies dilatées et translatées de l’ondelette mère, ce qui donne le scalogramme |W(s,t)|. Ici la mère est l’ondelette complexe de Morlet : une exponentielle complexe sous une enveloppe gaussienne, de fréquence centrale ω₀. Contrairement à une STFT à une seule fenêtre, les grandes échelles sondent les basses fréquences avec un plus long support temporel, les petites résolvent les salves rapides. Le cône d’influence marque les bords où le prolongement du signal fausse les coefficients. On fait varier ω₀ et l’intervalle d’échelles sur un axe logarithmique des fréquences. Visualisation pédagogique, ni paquet d’ondelettes orthogonal, ni reconstruction du signal.

Public : Traitement du signal, mathématiques appliquées, géophysique : analyse multi-échelle.

Notions clés

  • ondelette de Morlet
  • transformée en ondelettes continue
  • scalogramme
  • cône d’influence
  • ondelette mère
  • échelle

Comment ça marche

L’ondelette complexe de Morlet est translatée et dilatée ; le coefficient W(s,t) est la corrélation avec le signal. Sur le scalogramme |W(s,t)| selon un axe logarithmique d’échelle ; le cône d’influence atténue les bords. Le paramètre ω₀ fixe le nombre d’oscillations sous l’enveloppe : plus ω₀ est grand, plus c’est étroit en fréquence et large dans le temps.

Formules

W(s, τ) = (1/√s) ∫ x(t) ψ*((t − τ)/s) dt
ψ(η) = π⁻¹ᐟ⁴ e^{iω₀η} e^{−η²/2}, f_pseudo ≈ ω₀ f_s / (2π s)

Questions fréquentes

En quoi la transformée de Morlet diffère-t-elle d’un spectrogramme STFT ?
La STFT utilise une seule longueur de fenêtre pour toutes les fréquences. La transformée en ondelettes continue change la durée d’analyse avec l’échelle : les détails haute fréquence sont plus fins dans le temps, les basses fréquences occupent des fenêtres plus longues — un regard multi-échelle naturel.
Que fixe le paramètre ω₀ ?
ω₀ détermine combien d’oscillations tiennent sous l’enveloppe gaussienne. Un ω₀ plus grand améliore la sélectivité fréquentielle de l’ondelette, mais dégrade la localisation temporelle ; un ω₀ plus petit fait l’inverse.
À quoi sert le cône d’influence ?
Près des bords, l’ondelette déborde des données et il faut un prolongement ou une troncature : les coefficients y sont moins sûrs. Le cône marque cet artefact de bord, pas une structure intérieure.