Pourquoi le cas « sinus » donne-t-il une seule barre haute ?

Si le sinus tient en un nombre entier de périodes exactement sur N échantillons, son énergie coïncide avec un seul vecteur de base de la TFD (plus le miroir en k et N−k). Le pic est étroit. Si l’on dessine un « presque sinus » à nombre fractionnaire de périodes, l’énergie s’étale sur les canaux voisins — fuite due à la fenêtre rectangulaire implicite.

Pourquoi le spectre de l’impulsion est-il large, et non une seule raie ?

Un seul échantillon non nul est l’analogue discret d’une impulsion très courte. Une localisation brève dans le temps donne un spectre large. À l’inverse, un ton étroit en fréquence exige beaucoup d’oscillations dans la fenêtre — la même réciprocité durée–bande que pour la transformée continue.

Les barres sont-elles une puissance ou une amplitude ?

On montre le module du coefficient complexe : |X[k]| = √(Re² + Im²). La hauteur est normalisée par le maximum ; les valeurs absolues de la composante continue, du k dominant et de Nyquist sont dans le panneau latéral.

Qu’est-ce que la fréquence de Nyquist sur ce graphe ?

Le dernier canal k = N/2. Au-dessus, les harmoniques sur cette grille sont indiscernables des plus basses (repliement). Pour un signal réel le spectre est symétrique, on n’affiche donc que 0 … N/2.

Spectre FFT

Dessinez ou choisissez un cas sur 256 échantillons ; FFT en base 2 — |X[k]| par canaux, de la composante continue à la fréquence de Nyquist.

À propos du modèle

Le spectre FFT d’une suite finie d’échantillons : la transformée de Fourier discrète (TFD) montre quelle part de chaque fréquence sinusoïdale y est présente. On prend N = 256 échantillons réels x[n], on calcule la transformée de Fourier rapide (FFT) en base 2 et l’on trace les modules |X[k]| pour les canaux k = 0 … N/2 : composante continue, fréquences positives et canal de Nyquist. Le panneau du haut est le signal temporel : cas (sinus avec un nombre entier de périodes dans la fenêtre, deux tons, créneau, impulsion, bruit) ou dessin à la souris — tampon en mode « libre ». Les barres du spectre sont normalisées par le maximum, pour comparer la répartition relative de l’énergie. Une série de Fourier construit un signal périodique à partir d’harmoniques ; ici, c’est une analyse fréquentielle sur une fenêtre de longueur fixe. Si le nombre de périodes dans la fenêtre n’est pas entier, l’énergie fuit vers les canaux voisins (fuite spectrale due à la fenêtre rectangulaire implicite).

Public : Cours de signaux et systèmes, méthodes numériques ou TP d’analyse spectrale ; après les séries de Fourier — une TFD concrète.

Notions clés

transformée de Fourier discrète
transformée de Fourier rapide (FFT)
canal fréquentiel
composante continue
fréquence de Nyquist
spectre d’amplitude
fuite spectrale

Comment ça marche

On prend 256 échantillons réels x[n] (cas ou dessin sur la courbe du haut). La FFT donne X[k] ; on montre les modules |X[k]| pour k = 0 … N/2, Nyquist compris. Un sinus à nombre entier de périodes dans la fenêtre concentre l’énergie en un canal ; une impulsion courte étale le spectre — la même réciprocité temps–fréquence que pour la transformée de Fourier continue.

Formules

X[k] = Σ_{n=0}^{N−1} x[n] · e^{−2π i kn/N}

|X[k]| = √(Re² + Im²) · k = 0 … N/2

Questions fréquentes

Pourquoi le cas « sinus » donne-t-il une seule barre haute ?: Si le sinus tient en un nombre entier de périodes exactement sur N échantillons, son énergie coïncide avec un seul vecteur de base de la TFD (plus le miroir en k et N−k). Le pic est étroit. Si l’on dessine un « presque sinus » à nombre fractionnaire de périodes, l’énergie s’étale sur les canaux voisins — fuite due à la fenêtre rectangulaire implicite.
Pourquoi le spectre de l’impulsion est-il large, et non une seule raie ?: Un seul échantillon non nul est l’analogue discret d’une impulsion très courte. Une localisation brève dans le temps donne un spectre large. À l’inverse, un ton étroit en fréquence exige beaucoup d’oscillations dans la fenêtre — la même réciprocité durée–bande que pour la transformée continue.
Les barres sont-elles une puissance ou une amplitude ?: On montre le module du coefficient complexe : |X[k]| = √(Re² + Im²). La hauteur est normalisée par le maximum ; les valeurs absolues de la composante continue, du k dominant et de Nyquist sont dans le panneau latéral.
Qu’est-ce que la fréquence de Nyquist sur ce graphe ?: Le dernier canal k = N/2. Au-dessus, les harmoniques sur cette grille sont indiscernables des plus basses (repliement). Pour un signal réel le spectre est symétrique, on n’affiche donc que 0 … N/2.

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