Pourquoi les couleurs dépendent-elles du nombre d’itérations ?

Les pixels dont l’orbite s’échappe plus tôt sont colorés autrement que ceux qui restent plus longtemps près de l’ensemble. La coloration lisse interpole le rayon d’échappement et atténue les bandes des compteurs entiers.

Un agrandissement infini révèle-t-il toujours une structure nouvelle ?

Localement l’ensemble est auto-similaire : de minuscules copies de l’ensemble de Mandelbrot et des filaments se répètent à toutes les échelles. En pratique, la précision flottante et la limite d’itérations finissent par arrêter un calcul naïf.

L’intérieur noir est-il exactement l’ensemble de Mandelbrot ?

En pratique le noir marque les points qui n’ont pas échappé dans le nombre d’itérations imparti. Certains points extérieurs très lents à s’échapper peuvent être mal classés tant qu’on n’augmente pas la limite.

Ensemble de Mandelbrot

Fort agrandissement de l’ensemble de Mandelbrot : glisser et molette, coloration continue et repères nommés.

À propos du modèle

L’ensemble de Mandelbrot est l’ensemble des paramètres complexes c pour lesquels l’itération z_{n+1} = z_n² + c, avec z₀ = 0, reste bornée. La carte se construit au temps d’échappement : un pixel est coloré selon le nombre d’itérations jusqu’à la sortie du rayon d’échappement, avec un lissage fractionnaire pour éviter les bandes du compteur entier. Glisser et molette changent le rectangle de vue ; il y a des repères vers des copies miniatures connues et des filaments. Le modèle est l’application quadratique classique, ni une famille de degrés plus élevés, ni un ensemble de Julia ; une limite finie d’itérations n’approche que l’ensemble vrai. Aux petites échelles on voit l’auto-similarité ; la précision de l’arithmétique réelle et la limite d’itérations finissent par borner un calcul naïf.

Public : Dynamique complexe et infographie : itérations z² + c, fractales.

Notions clés

ensemble de Mandelbrot
temps d’échappement
itération complexe
fractale
coloration continue
application quadratique

Comment ça marche

L’ensemble de Mandelbrot est l’ensemble des c pour lesquels l’orbite z_{n+1}=z_n²+c, z₀=0, reste bornée. Chaque pixel du plan complexe est un c ; la couleur donne le temps d’échappement (nombre d’itérations jusqu’à |z|>R), avec un lissage fractionnaire. Les zones noires n’ont pas échappé dans la limite impartie. Glisser et molette changent la fenêtre ; au fort agrandissement apparaissent des copies miniatures et des filaments.

Formules

zₙ₊₁ = zₙ² + c, z₀ = 0

M = { c ∈ ℂ : supₙ |zₙ| < ∞ }

μ = n + 1 − log₂ log₂ |zₙ| (smooth iter)

Questions fréquentes

Pourquoi les couleurs dépendent-elles du nombre d’itérations ?: Les pixels dont l’orbite s’échappe plus tôt sont colorés autrement que ceux qui restent plus longtemps près de l’ensemble. La coloration lisse interpole le rayon d’échappement et atténue les bandes des compteurs entiers.
Un agrandissement infini révèle-t-il toujours une structure nouvelle ?: Localement l’ensemble est auto-similaire : de minuscules copies de l’ensemble de Mandelbrot et des filaments se répètent à toutes les échelles. En pratique, la précision flottante et la limite d’itérations finissent par arrêter un calcul naïf.
L’intérieur noir est-il exactement l’ensemble de Mandelbrot ?: En pratique le noir marque les points qui n’ont pas échappé dans le nombre d’itérations imparti. Certains points extérieurs très lents à s’échapper peuvent être mal classés tant qu’on n’augmente pas la limite.

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