Pourquoi Tchebychev a-t-il des ondulations, mais qu’un ordre plus petit suffit souvent ?

Tolérer une erreur uniforme en bande passante (type I) ou en bande atténuée (type II) dépense le budget d’approximation plus efficacement qu’un Butterworth maximalement plat : la même largeur de transition s’atteint souvent avec moins de pôles.

Que fait la transformation bilinéaire ?

Elle envoie le demi-plan gauche stable de s à l’intérieur du cercle unité en z par z = (1+s)/(1−s) (avec l’échelle de la fréquence d’échantillonnage), en conservant la stabilité et en recourbant les fréquences analogiques selon une tangente ; on le compense par une prédistorsion.

Pourquoi regarder les pôles et les zéros, et pas seulement |H(f)| ?

Des pôles près du cercle unité donnent des résonances aiguës et une longue oscillation de la réponse impulsionnelle ; les zéros creusent des réjections. Le plan z explique la marge de stabilité et les transitoires qu’une seule courbe d’amplitude cache.

Filtres RII de Butterworth et Tchebychev

Synthèse de passe-bas et passe-haut de Butterworth et Tchebychev I/II : |H(f)|, phase, réponse impulsionnelle et pôles–zéros dans le plan z par transformation bilinéaire.

À propos du modèle

Les filtres RII de Butterworth et de Tchebychev I/II sont des prototypes analogiques classiques : Butterworth a une bande passante maximalement plate ; Tchebychev, une ondulation uniforme en bande passante ou en bande atténuée. Le filtre RII numérique s’obtient par transformation bilinéaire ; on calcule des passe-bas et des passe-haut. À l’écran : le module |H(f)|, la phase, la réponse impulsionnelle et les pôles–zéros dans le plan z. L’ordre, la fréquence de coupure et l’ondulation (pour Tchebychev) placent les pôles à l’intérieur du cercle unité ; la fréquence analogique est envoyée selon une loi tangente, compensée par une prédistorsion de l’échelle. Hypothèses : système linéaire stationnaire, coefficients idéaux, sans quantification ni cycles limites.

Public : DSP, télécommunications, électrotechnique : synthèse de filtres numériques.

Notions clés

filtre de Butterworth
filtre de Tchebychev
filtre RII
transformation bilinéaire
diagramme pôles–zéros
réponse en amplitude

Comment ça marche

Un prototype analogique (Butterworth ou Tchebychev I/II) est envoyé dans le plan z par transformation bilinéaire. Sur les graphes : |H(f)|, la phase et la réponse impulsionnelle ; dans le plan complexe : les pôles à l’intérieur du cercle unité et les zéros. L’ordre et la fréquence de coupure déplacent les pôles ; l’ondulation de Tchebychev resserre la bande de transition au prix d’une inégalité de la réponse en amplitude.

Formules

Butterworth: |H(jΩ)|² = 1 / (1 + (Ω/Ωc)^{2N})

Chebyshev I: |H(jΩ)|² = 1 / (1 + ε² Tₙ²(Ω/Ωp)), ε = √(10^{R_p/10} − 1)

Bilinear: z = (1 + sT/2) / (1 − sT/2), pre-warp Ωc = (2/T) tan(ωc/2)

Questions fréquentes

Pourquoi Tchebychev a-t-il des ondulations, mais qu’un ordre plus petit suffit souvent ?: Tolérer une erreur uniforme en bande passante (type I) ou en bande atténuée (type II) dépense le budget d’approximation plus efficacement qu’un Butterworth maximalement plat : la même largeur de transition s’atteint souvent avec moins de pôles.
Que fait la transformation bilinéaire ?: Elle envoie le demi-plan gauche stable de s à l’intérieur du cercle unité en z par z = (1+s)/(1−s) (avec l’échelle de la fréquence d’échantillonnage), en conservant la stabilité et en recourbant les fréquences analogiques selon une tangente ; on le compense par une prédistorsion.
Pourquoi regarder les pôles et les zéros, et pas seulement |H(f)| ?: Des pôles près du cercle unité donnent des résonances aiguës et une longue oscillation de la réponse impulsionnelle ; les zéros creusent des réjections. Le plan z explique la marge de stabilité et les transitoires qu’une seule courbe d’amplitude cache.

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