À quoi sert l’unité imaginaire si la tension est réelle ?

L’écriture complexe est un calcul commode. À l’oscillation physique on associe d’ordinaire la partie réelle Re(Ae^{iωt}). L’axe imaginaire sur la figure est la seconde projection de la même rotation : un sinus déphasé de 90°.

Pourquoi un phasor, si l’on a déjà le graphe du sinus ?

Additionner deux sinusoïdes de même fréquence, sur des phasors, c’est additionner des vecteurs dans le plan. Les formules trigonométriques sont plus longues ; en courant alternatif, on additionne ainsi tensions et intensités.

Que règle le curseur de phase φ ?

L’angle initial : θ = ωt + φ. Le déphasage φ tourne la flèche à l’instant t = 0 et décale les deux projections dans le temps, sans changer ni la pulsation ni l’amplitude.

Phasor complexe

Point e^{i(ωt+φ)} sur le cercle unité ; projections Re, Im et phase φ.

À propos du modèle

Le phasor complexe e^{i(ωt+φ)} est un point du cercle unité qui tourne à la pulsation ω. Par la formule d’Euler e^{iθ} = cos θ + i sin θ, la projection sur l’axe réel est cos(ωt+φ), sur l’axe imaginaire sin(ωt+φ). L’angle θ = ωt+φ est la phase instantanée. L’amplitude vaut 1 : on voit la rotation et les projections, sans addition de plusieurs phasors de longueurs différentes. C’est le même mouvement harmonique qu’en oscillations et dans les circuits en courant alternatif, où tension et intensité s’écrivent en amplitudes complexes. Le module ne change pas — pas d’amortissement.

Public : Oscillations et circuits en régime sinusoïdal : formule d’Euler, phasor, projections sur les axes Re et Im.

Notions clés

phasor
formule d’Euler
exponentielle complexe
pulsation
phase
partie réelle
partie imaginaire
cercle unité

Comment ça marche

Le point e^{i(ωt+φ)} parcourt le cercle unité à la pulsation ω. Par la formule d’Euler, la projection sur l’axe Re est cos(ωt+φ), sur l’axe Im sin(ωt+φ). C’est une même oscillation harmonique en deux projections ; le module vaut 1.

Questions fréquentes

À quoi sert l’unité imaginaire si la tension est réelle ?: L’écriture complexe est un calcul commode. À l’oscillation physique on associe d’ordinaire la partie réelle Re(Ae^{iωt}). L’axe imaginaire sur la figure est la seconde projection de la même rotation : un sinus déphasé de 90°.
Pourquoi un phasor, si l’on a déjà le graphe du sinus ?: Additionner deux sinusoïdes de même fréquence, sur des phasors, c’est additionner des vecteurs dans le plan. Les formules trigonométriques sont plus longues ; en courant alternatif, on additionne ainsi tensions et intensités.
Que règle le curseur de phase φ ?: L’angle initial : θ = ωt + φ. Le déphasage φ tourne la flèche à l’instant t = 0 et décale les deux projections dans le temps, sans changer ni la pulsation ni l’amplitude.

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