Pourquoi les axes du référentiel mobile sont-ils inclinés et symétriques par rapport au cône de lumière ?

La simultanéité est relative : l’axe x′ est une droite t′ = const, l’axe ct′ la ligne d’univers de l’origine de S′. La transformation de Lorentz incline les deux axes vers le cône d’un angle lié à v. La symétrie par rapport à x = ±ct vient de l’invariance de la vitesse de la lumière : les rayons partagent en deux l’angle entre ct′ et x′.

Que délimite le cône de lumière ?

La frontière du lien causal avec l’événement au sommet. À l’intérieur du cône futur, les événements peuvent être des conséquences du sommet ; à l’intérieur du passé, ses causes. À l’extérieur, l’intervalle est de genre espace : même la lumière ne relie pas ces événements au sommet.

En quoi le schéma 1+1 diffère-t-il de l’espace-temps 3+1 ?

Les effets essentiels sont les mêmes : dilatation du temps, contraction des longueurs, relativité de la simultanéité. En 3+1, le « cône » de lumière est une surface à trois dimensions dans un espace à quatre dimensions. Ici deux dimensions d’espace sont omises, pour tenir la géométrie dans le plan.

γ = 1/√(1 − v²/c²) fixe l’ampleur des effets : les horloges en mouvement vont γ fois plus lentement, les longueurs le long du mouvement se contractent d’un facteur 1/γ. Lorsque v → c, le facteur γ croît sans borne.

Diagramme de Minkowski

Plan (x, ct) : cône de lumière x = ±ct et axes inclinés du référentiel en mouvement ; γ = 1/√(1 − v²/c²).

À propos du modèle

Le diagramme de Minkowski est le plan des événements en coordonnées (x, ct). Le cône de lumière x = ±ct partage l’espace-temps : à l’intérieur, les intervalles de genre temps (un lien causal est possible) ; à l’extérieur, de genre espace. Les axes du référentiel au repos sont orthogonaux ; ceux du référentiel en mouvement à la vitesse v s’inclinent vers le cône selon la transformation de Lorentz : x′ = γ(x − vt), ct′ = γ(ct − vx/c), γ = 1/√(1 − v²/c²). L’inclinaison de l’axe ct′ est la ligne d’univers de l’origine du référentiel mobile ; celle de l’axe x′ est une droite de simultanéité dans ce référentiel. Modèle 1+1 : deux dimensions d’espace sont omises. En faisant varier v, on voit la relativité de la simultanéité et la croissance de γ à l’approche de c.

Public : Cours de relativité restreinte : diagramme de Minkowski, cône de lumière, transformation de Lorentz.

Notions clés

diagramme de Minkowski
espace-temps
cône de lumière
transformation de Lorentz
facteur de Lorentz
ligne d’univers
relativité de la simultanéité

Comment ça marche

Sur le plan (x, ct), le cône de lumière x = ±ct sépare les événements de genre temps et de genre espace. La transformation de Lorentz incline les axes (x′, ct′) vers le cône ; γ = 1/√(1 − v²/c²) croît avec |v|. L’horizontale dans le référentiel au repos est une simultanéité ; dans le référentiel mobile, les tranches t′ = const sont inclinées.

Questions fréquentes

Pourquoi les axes du référentiel mobile sont-ils inclinés et symétriques par rapport au cône de lumière ?: La simultanéité est relative : l’axe x′ est une droite t′ = const, l’axe ct′ la ligne d’univers de l’origine de S′. La transformation de Lorentz incline les deux axes vers le cône d’un angle lié à v. La symétrie par rapport à x = ±ct vient de l’invariance de la vitesse de la lumière : les rayons partagent en deux l’angle entre ct′ et x′.
Que délimite le cône de lumière ?: La frontière du lien causal avec l’événement au sommet. À l’intérieur du cône futur, les événements peuvent être des conséquences du sommet ; à l’intérieur du passé, ses causes. À l’extérieur, l’intervalle est de genre espace : même la lumière ne relie pas ces événements au sommet.
En quoi le schéma 1+1 diffère-t-il de l’espace-temps 3+1 ?: Les effets essentiels sont les mêmes : dilatation du temps, contraction des longueurs, relativité de la simultanéité. En 3+1, le « cône » de lumière est une surface à trois dimensions dans un espace à quatre dimensions. Ici deux dimensions d’espace sont omises, pour tenir la géométrie dans le plan.
Que montre γ ?: γ = 1/√(1 − v²/c²) fixe l’ampleur des effets : les horloges en mouvement vont γ fois plus lentement, les longueurs le long du mouvement se contractent d’un facteur 1/γ. Lorsque v → c, le facteur γ croît sans borne.

Thèmes proches (y compris d’autres rubriques) — ou les 85 de «Visualisation mathématique».

Toute la catégorie →

NouveauCollège–lycée

Paradoxe des jumeaux

Lancer la simulation

Lignes d’univers « aller-retour » : temps propre du voyageur τ = T/γ contre le temps terrestre T.

NouveauUniversité

Diagramme de Minkowski

Lancer la simulation

Diagramme (x, ct) : la transformation de Lorentz incline les axes (x′, ct′) vers le cône de lumière ; intervalle Δs² = (cΔt)² − (Δx)².

NouveauCollège–lycée

Matrice 2×2 et vecteurs propres

Lancer la simulation

Application linéaire du plan par une matrice M : le quadrillage carré devient un réseau de parallélogrammes. Pour des λ réelles — flèches le long des directions invariantes.

NouveauUniversité

Mise à jour bayésienne : a priori conjugués

Lancer la simulation

Mise à jour bêta-binomiale : courbes des lois a priori et a posteriori, probabilité prédictive a posteriori et intervalles de crédibilité.

NouveauUniversité

Ondelette de Morlet

Lancer la simulation

Transformée en ondelettes continue avec l’ondelette complexe de Morlet : scalogramme |W(s,t)|, axe logarithmique des fréquences, cône d’influence, ω₀ et intervalle d’échelles.

NouveauUniversité

Bifurcations de l’application logistique

Lancer la simulation

Application xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) : en abscisse le paramètre r, en ordonnée les valeurs sur l’attracteur. On voit le doublement de période et le chaos (cascade de Feigenbaum).

Diagramme de Minkowski

À propos du modèle

Comment ça marche

Questions fréquentes

Simulations voisines

Paradoxe des jumeaux

Diagramme de Minkowski

Matrice 2×2 et vecteurs propres

Mise à jour bayésienne : a priori conjugués

Ondelette de Morlet

Bifurcations de l’application logistique

Diagramme de Minkowski

À propos du modèle

Comment ça marche

Questions fréquentes