Pourquoi, loin du point a, le polynôme suit-il mal la fonction ?

Les coefficients viennent des dérivées en un seul point a : l’approximation est locale. Plus x s’éloigne de a, plus les puissances élevées (x − a)^n pèsent ; si n est petit, elles manquent. Pour sin, cos et exp, la série complète converge pourtant partout — il suffit de monter l’ordre.

En quoi la série de Maclaurin diffère-t-elle de la série de Taylor ?

La série de Maclaurin est la série de Taylor en a = 0. Amenez le centre à zéro : vous avez Maclaurin ; tout autre a : la série de Taylor générale.

Toute fonction se développe-t-elle ainsi ?

Il faut qu’elle soit indéfiniment dérivable en a. Même alors, la série peut ne pas coïncider avec la fonction hors d’un certain rayon. Ici sin, cos et exp sont analytiques sur toute la droite : la série converge vers f(x) pour tout x réel.

Série de Taylor

Comparez sin, cos ou exp au polynôme de Taylor d’ordre n au voisinage du point a.

À propos du modèle

La série de Taylor développe une fonction régulière en somme de puissances de (x − a) : f(x) = Σ f^{(n)}(a)/n! · (x − a)^n. La somme partielle est le polynôme de Taylor d’ordre n. Pour sin, cos et exp, la série converge sur toute la droite ; si a = 0, c’est la série de Maclaurin. Près du centre a, le polynôme suit la fonction ; plus loin, l’écart se voit tant que le degré manque. À l’écran, la courbe grise est f(x), la jaune le polynôme, le point rose le centre a. On ne trace pas le reste : on voit n croître et a se déplacer. Il n’y a pas ici d’autres fonctions à rayon de convergence fini.

Public : Analyse : série de Taylor, série de Maclaurin, approximation locale par un polynôme.

Notions clés

série de Taylor
polynôme de Taylor
série de Maclaurin
dérivée
factorielle
convergence
approximation locale

Comment ça marche

Pour sin, cos ou exp, on construit le polynôme de Taylor de degré n au voisinage de x = a (point rose). La courbe grise est la fonction, la jaune la somme partielle Σ f^{(k)}(a)/k! · (x−a)^k. Près de a les courbes se confondent ; plus loin, on réduit l’écart en augmentant n.

Questions fréquentes

Pourquoi, loin du point a, le polynôme suit-il mal la fonction ?: Les coefficients viennent des dérivées en un seul point a : l’approximation est locale. Plus x s’éloigne de a, plus les puissances élevées (x − a)^n pèsent ; si n est petit, elles manquent. Pour sin, cos et exp, la série complète converge pourtant partout — il suffit de monter l’ordre.
En quoi la série de Maclaurin diffère-t-elle de la série de Taylor ?: La série de Maclaurin est la série de Taylor en a = 0. Amenez le centre à zéro : vous avez Maclaurin ; tout autre a : la série de Taylor générale.
Toute fonction se développe-t-elle ainsi ?: Il faut qu’elle soit indéfiniment dérivable en a. Même alors, la série peut ne pas coïncider avec la fonction hors d’un certain rayon. Ici sin, cos et exp sont analytiques sur toute la droite : la série converge vers f(x) pour tout x réel.

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