Por que longe do ponto a o polinômio acompanha mal a função?

Os coeficientes saem das derivadas num só ponto a, por isso a aproximação é local. Quanto mais longe x está de a, mais pesam as potências altas (x − a)^n; com n pequeno elas não bastam. Em sen, cos e exp a série completa mesmo assim converge em toda parte: basta subir a ordem.

Em que a série de Maclaurin difere da de Taylor?

A série de Maclaurin é a de Taylor com a = 0. Leve o centro à origem e obtém Maclaurin; qualquer outro a é a série de Taylor geral.

Dá para desenvolver assim qualquer função?

Faz falta diferenciabilidade infinita no ponto a. Mesmo assim a série pode não coincidir com a função fora de certo raio. Aqui sen, cos e exp são analíticas em toda a reta: a série converge a f(x) para todo x real.

Série de Taylor

Compare sen, cos ou exp com o polinômio de Taylor de ordem n numa vizinhança do ponto a.

Sobre o modelo

A série de Taylor desenvolve uma função suave numa soma de potências de (x − a): f(x) = Σ f^{(n)}(a)/n! · (x − a)^n. A soma parcial é o polinômio de Taylor de ordem n. Para sen, cos e exp a série converge em toda a reta; se a = 0 é a série de Maclaurin. Perto do centro a o polinômio acompanha a função; mais longe o desvio aparece enquanto o grau ainda não chega. Na tela a curva cinza é f(x), a amarela o polinômio, o ponto rosa o centro a. O resto não se desenha: vê-se como cresce n e para onde se move a. Aqui não há outras funções com raio de convergência finito.

Para quem: Cálculo: série de Taylor, série de Maclaurin, aproximação local por um polinômio.

Conceitos-chave

série de Taylor
polinômio de Taylor
série de Maclaurin
derivada
fatorial
convergência
aproximação local

Como funciona

Para sen, cos ou exp constrói-se o polinômio de Taylor de grau n numa vizinhança de x = a (ponto rosa). A curva cinza é a função; a amarela, a soma parcial Σ f^{(k)}(a)/k! · (x−a)^k. Perto de a as curvas coincidem; mais longe o desvio se reduz ao subir n.

Perguntas frequentes

Por que longe do ponto a o polinômio acompanha mal a função?: Os coeficientes saem das derivadas num só ponto a, por isso a aproximação é local. Quanto mais longe x está de a, mais pesam as potências altas (x − a)^n; com n pequeno elas não bastam. Em sen, cos e exp a série completa mesmo assim converge em toda parte: basta subir a ordem.
Em que a série de Maclaurin difere da de Taylor?: A série de Maclaurin é a de Taylor com a = 0. Leve o centro à origem e obtém Maclaurin; qualquer outro a é a série de Taylor geral.
Dá para desenvolver assim qualquer função?: Faz falta diferenciabilidade infinita no ponto a. Mesmo assim a série pode não coincidir com a função fora de certo raio. Aqui sen, cos e exp são analíticas em toda a reta: a série converge a f(x) para todo x real.

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