Nuage dans le plan : covariance 2×2, vecteurs propres CP1 et CP2 partant de la moyenne, perpendiculaires à la droite CP1 et bande des coordonnées sur la première composante.
À propos du modèle
L’analyse en composantes principales (ACP) dans le plan commence par le centrage des données. La matrice de covariance 2×2 des points centrés est symétrique et semi-définie positive ; ses vecteurs propres sont les directions orthogonales de variance maximale, ordonnées par les valeurs propres λ₁ ≥ λ₂ ≥ 0. CP1 est la droite passant par la moyenne le long de laquelle la projection orthogonale conserve la plus grande part de variance ; CP2 lui est perpendiculaire et prend le reste. La coordonnée d’un point sur CP1 est le produit scalaire (p − μ)·v₁ avec le vecteur propre unitaire, c’est-à-dire l’abscisse de la projection sur le sous-espace unidimensionnel. À l’écran : la moyenne, des flèches de longueur de l’ordre de √λ, les perpendiculaires des points à la droite CP1 et, en bas, la bande de ces mêmes coordonnées. La covariance est calculée avec le diviseur n.
Public : Algèbre linéaire et statistique : vecteurs propres de la covariance, projection, variance expliquée.
Notions clés
analyse en composantes principales
matrice de covariance
vecteur propre
valeur propre
centrage
projection orthogonale
variance expliquée
approximation de rang 1
Comment ça marche
Après centrage, on forme la covariance 2×2 ; les vecteurs propres sont CP1 (maximum de variance) et CP2. La coordonnée sur CP1 vaut (p − μ)·v₁ et est l’abscisse de la projection orthogonale sur la droite CP1. La bande du bas reprend ces valeurs sur un seul axe ; les flèches sont mises à l’échelle à peu près comme √λ.
Questions fréquentes
Pourquoi les flèches tournent-elles si l’on déplace un point éloigné ?
L’ACP est globale : la covariance dépend de tous les points. Une forte valeur aberrante peut déformer l’ellipse d’inertie et changer les deux directions propres. Il existe des versions robustes ; elles ne sont pas montrées ici.
Ici, le diviseur est-il n ou n−1 ?
Le diviseur n — plus simple pour les petits échantillons et les graphes pédagogiques. L’ordre des composantes principales est le même ; les λ absolus diffèrent de la convention n−1 par un facteur constant.
Que montre la bande du bas ?
Les mêmes coordonnées (p − μ)·v₁ que la projection orthogonale sur la droite CP1. Le signe est cohérent avec la flèche de la première composante : c’est la même image du nuage, en une dimension.