Pourquoi le créneau garde-t-il une « corne » près du saut, quel que soit le nombre d’harmoniques ?

C’est le phénomène de Gibbs. Au voisinage d’une discontinuité, la somme partielle oscille : l’amplitude de la surtension ne tend pas vers zéro, seule sa largeur se rétrécit. En moyenne la série converge ; au point du saut elle donne la moyenne des limites à gauche et à droite.

Pourquoi le triangle a-t-il besoin de moins de termes que le créneau ?

Le triangle est continu, les coefficients décroissent comme 1/k² ; le créneau a des sauts, les coefficients comme 1/k. Plus la fonction est régulière, plus la série de Fourier converge vite.

En quoi une série de Fourier diffère-t-elle d’un spectre FFT ?

La série est le développement d’une fonction périodique en somme infinie d’harmoniques. La FFT est une transformée discrète d’une fenêtre finie d’échantillons. Ici l’on construit le signal à partir des harmoniques ; le spectre FFT décompose un tampon déjà donné.

Séries de Fourier

On décompose une fonction périodique en somme d’harmoniques — sinus et cosinus de fréquences multiples. Faites varier le nombre de termes et comparez la somme partielle au créneau, à la dent de scie ou au triangle.

À propos du modèle

Une série de Fourier représente une fonction périodique comme somme d’harmoniques : sinus et cosinus dont les fréquences sont multiples de la fondamentale. La somme partielle converge vers la forme choisie : pour le créneau on prend les sinus impairs d’amplitudes 4/(π(2k−1)), pour la dent de scie les termes sin(nt)/n, pour le triangle les sinus impairs en 1/k². Près d’une discontinuité (créneau, dent de scie) demeure le phénomène de Gibbs : une surtension locale ne disparaît pas quand n croît, elle se rétrécit seulement. Le triangle, plus régulier, converge plus vite. À l’écran, les pointillés sont la limite idéale, la courbe pleine la somme partielle ; on peut décaler la phase dans le temps. Le modèle est idéal : série trigonométrique finie, sans bruit ni fuite spectrale.

Public : Analyse et théorie du signal : séries de Fourier, harmoniques, convergence des sommes partielles.

Notions clés

série de Fourier
harmonique
somme partielle
créneau
phénomène de Gibbs
fonction périodique

Comment ça marche

On approche une forme périodique (créneau, dent de scie, triangle) par une somme de Fourier finie. Créneau : sinus impairs (4/π) Σ sin((2k−1)t)/(2k−1) ; dent de scie : (2/π) Σ (−1)^{n+1} sin(nt)/n ; triangle : sinus impairs en 1/k². Augmenter le nombre de termes améliore l’approximation ; aux discontinuités demeure le phénomène de Gibbs. Pointillés — l’idéal, trait plein — la somme partielle ; l’animation décale la phase.

Formules

Créneau : (4/π) Σ sin((2k−1)t)/(2k−1)

Questions fréquentes

Pourquoi le créneau garde-t-il une « corne » près du saut, quel que soit le nombre d’harmoniques ?: C’est le phénomène de Gibbs. Au voisinage d’une discontinuité, la somme partielle oscille : l’amplitude de la surtension ne tend pas vers zéro, seule sa largeur se rétrécit. En moyenne la série converge ; au point du saut elle donne la moyenne des limites à gauche et à droite.
Pourquoi le triangle a-t-il besoin de moins de termes que le créneau ?: Le triangle est continu, les coefficients décroissent comme 1/k² ; le créneau a des sauts, les coefficients comme 1/k. Plus la fonction est régulière, plus la série de Fourier converge vite.
En quoi une série de Fourier diffère-t-elle d’un spectre FFT ?: La série est le développement d’une fonction périodique en somme infinie d’harmoniques. La FFT est une transformée discrète d’une fenêtre finie d’échantillons. Ici l’on construit le signal à partir des harmoniques ; le spectre FFT décompose un tampon déjà donné.

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