Pourquoi le polynôme de Lagrange oscille-t-il tant avec beaucoup de nœuds équidistants ?

C’est le phénomène de Runge : pour certaines fonctions régulières, une grille uniforme force l’unique polynôme interpolateur de haut degré à de grands méandres près des extrémités. L’erreur peut croître avec le degré, alors que le polynôme passe encore par chaque nœud.

Que signifie « naturelle » pour une spline cubique ?

Aux nœuds extrêmes, la dérivée seconde est prise nulle. Cela fixe les degrés de liberté et correspond à la plus petite « courbure » (minimum de l’intégrale du carré de la dérivée seconde) parmi les interpolants passant par tous les nœuds.

La spline est-elle toujours plus proche de la forme attendue que le polynôme ?

Souvent à l’œil, oui : chaque morceau n’est que cubique, et l’on n’a pas le comportement explosif aux bords typique des hauts degrés. Mais la spline reste une interpolation exacte — pour atténuer le bruit, on passe en général aux moindres carrés ou aux splines pénalisées.

Pourquoi les abscisses des nœuds doivent-elles être distinctes ?

Le graphe d’une fonction ne peut pas passer par deux ordonnées différentes à la même abscisse. Dans la formule de Lagrange, les dénominateurs (xⱼ − xᵢ) s’annuleraient, et le système pour un seul polynôme deviendrait dégénéré. À l’ajout de nœuds, un écart horizontal minimal est imposé ; les coïncidences après un glissement sont légèrement écartées.

Lagrange et spline cubique

Nœuds au clic : polynôme de Lagrange contre spline cubique naturelle. Le cas de Runge montre les oscillations aux bords à haut degré.

À propos du modèle

L’interpolation de Lagrange et la spline cubique construisent une courbe qui passe exactement par les nœuds donnés. L’interpolation de Lagrange définit l’unique polynôme global de degré au plus n−1 passant par n abscisses distinctes, sous forme de produit de polynômes de base. À haut degré et sur une grille uniforme, le polynôme peut osciller fortement entre les nœuds — c’est le phénomène de Runge. Les splines cubiques font autrement : sur chaque intervalle entre nœuds voisins, un cube distinct ; aux nœuds intérieurs, les valeurs, la dérivée première et la dérivée seconde sont continues. La spline cubique naturelle annule la dérivée seconde aux extrémités et donne, parmi les interpolants deux fois dérivables, la courbe la moins courbée (minimum de l’intégrale du carré de la dérivée seconde). On place et on déplace les nœuds ; on compare l’interpolant de Lagrange et la spline naturelle. Le cas à grille uniforme dans l’esprit de Runge montre les oscillations du polynôme aux bords, alors que la spline reste calme.

Public : Méthodes numériques et mathématiques appliquées : interpolation, phénomène de Runge, splines.

Notions clés

interpolation de Lagrange
phénomène de Runge
spline cubique naturelle
fonction polynomiale par morceaux
système tridiagonal
continuité de la spline
interpolation et approximation

Comment ça marche

L’interpolation de Lagrange construit un seul polynôme de degré n−1 passant par n nœuds. La spline cubique naturelle est une courbe cubique par morceaux : un cube sur chaque intervalle entre nœuds voisins, raccord de S, S′ et S″, et S″ = 0 aux extrémités. Sur une grille uniforme et une fonction « pointue » (cas de Runge), le haut degré de Lagrange donne de grandes oscillations aux bords ; la spline reste lisse.

Formules

Lagrange : P(x) = Σⱼ yⱼ · Πᵢ≠ⱼ (x−xᵢ)/(xⱼ−xᵢ)

Spline : cube sur [xᵢ,xᵢ₊₁] ; S, S′, S″ continus ; S″(x₀)=S″(xₙ₋₁)=0

Questions fréquentes

Pourquoi le polynôme de Lagrange oscille-t-il tant avec beaucoup de nœuds équidistants ?: C’est le phénomène de Runge : pour certaines fonctions régulières, une grille uniforme force l’unique polynôme interpolateur de haut degré à de grands méandres près des extrémités. L’erreur peut croître avec le degré, alors que le polynôme passe encore par chaque nœud.
Que signifie « naturelle » pour une spline cubique ?: Aux nœuds extrêmes, la dérivée seconde est prise nulle. Cela fixe les degrés de liberté et correspond à la plus petite « courbure » (minimum de l’intégrale du carré de la dérivée seconde) parmi les interpolants passant par tous les nœuds.
La spline est-elle toujours plus proche de la forme attendue que le polynôme ?: Souvent à l’œil, oui : chaque morceau n’est que cubique, et l’on n’a pas le comportement explosif aux bords typique des hauts degrés. Mais la spline reste une interpolation exacte — pour atténuer le bruit, on passe en général aux moindres carrés ou aux splines pénalisées.
Pourquoi les abscisses des nœuds doivent-elles être distinctes ?: Le graphe d’une fonction ne peut pas passer par deux ordonnées différentes à la même abscisse. Dans la formule de Lagrange, les dénominateurs (xⱼ − xᵢ) s’annuleraient, et le système pour un seul polynôme deviendrait dégénéré. À l’ajout de nœuds, un écart horizontal minimal est imposé ; les coïncidences après un glissement sont légèrement écartées.

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