Que signifient les couleurs de l’ensemble de Mandelbrot ?

Les points sombres : l’orbite est restée bornée dans le nombre de pas imparti (candidat à l’ensemble). Les autres couleurs : combien d’itérations il a fallu pour que |z| dépasse le rayon d’échappement. C’est une carte de la vitesse de fuite, pas une « hauteur » de l’ensemble.

En quoi l’ensemble de Julia diffère-t-il de Mandelbrot ?

La même équation z ← z² + c, des rôles différents. Mandelbrot : z₀ = 0, c parcourt le plan. Julia : c est fixé, z₀ parcourt le plan. Un c intérieur à Mandelbrot donne un ensemble de Julia connexe ; à l’extérieur, une « poussière ».

Pourquoi le périmètre du flocon de Koch est-il infini, alors que l’aire ne l’est pas ?

À chaque étape, chaque segment est remplacé par quatre segments de longueur 1/3 : le périmètre est multiplié par 4/3 et croît sans borne. Les triangles ajoutés deviennent vite minuscules, donc l’aire converge.

Fractales : Mandelbrot, Julia, Koch

Ensemble de Mandelbrot, ensemble de Julia et flocon de Koch. Itérations z ← z² + c, échelle à la molette.

À propos du modèle

Les fractales de Mandelbrot, de Julia et de Koch relèvent de deux constructions. L’ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia viennent de l’itération z_{n+1} = z_n² + c dans le plan complexe. Pour Mandelbrot, c est le point du plan, z₀ = 0 ; le point appartient à l’ensemble si l’orbite reste bornée. Pour Julia, on fixe c et l’on fait varier z₀. La couleur est le nombre d’itérations jusqu’à |z| > R (temps d’échappement) ; le sombre marque une orbite qui n’est pas sortie dans le nombre de pas imparti. Le flocon de Koch est une autre construction : chaque segment est remplacé par une ligne brisée à quatre morceaux ; le périmètre croît, l’aire reste finie. Le nombre d’itérations et le rayon d’échappement sont finis — c’est une approximation de la vraie frontière. On déplace la vue à la souris, l’échelle à la molette ; pour Koch, on règle la profondeur de récursion.

Public : Nombres complexes et systèmes dynamiques : itérations, orbite bornée, auto-similarité.

Notions clés

ensemble de Mandelbrot
ensemble de Julia
flocon de Koch
nombre complexe
itération
temps d’échappement
auto-similarité

Comment ça marche

Mandelbrot : z₀ = 0, c parcourt le pixel, z ← z² + c. Julia : c est fixé, z₀ est le pixel. La couleur est le nombre de pas jusqu’à la sortie du rayon R. Le flocon de Koch se construit en remplaçant chaque segment par une ligne brisée ; la profondeur de récursion fixe le détail. Glisser déplace la vue, la molette change l’échelle.

Formules

Mandelbrot : z₀ = 0, zₙ₊₁ = zₙ² + c (c parcourt le plan)

Julia : c fixé, z₀ = pixel, zₙ₊₁ = zₙ² + c

Questions fréquentes

Que signifient les couleurs de l’ensemble de Mandelbrot ?: Les points sombres : l’orbite est restée bornée dans le nombre de pas imparti (candidat à l’ensemble). Les autres couleurs : combien d’itérations il a fallu pour que |z| dépasse le rayon d’échappement. C’est une carte de la vitesse de fuite, pas une « hauteur » de l’ensemble.
En quoi l’ensemble de Julia diffère-t-il de Mandelbrot ?: La même équation z ← z² + c, des rôles différents. Mandelbrot : z₀ = 0, c parcourt le plan. Julia : c est fixé, z₀ parcourt le plan. Un c intérieur à Mandelbrot donne un ensemble de Julia connexe ; à l’extérieur, une « poussière ».
Pourquoi le périmètre du flocon de Koch est-il infini, alors que l’aire ne l’est pas ?: À chaque étape, chaque segment est remplacé par quatre segments de longueur 1/3 : le périmètre est multiplié par 4/3 et croît sans borne. Les triangles ajoutés deviennent vite minuscules, donc l’aire converge.

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