Por que os níveis de Landau são equidistantes, como num oscilador?

O acoplamento mínimo ao campo eletromagnético (troca p → p − qA) reduz a energia cinética no plano a um oscilador harmônico de frequência ω_c = qB/m. Daí E_n = ħ ω_c (n+½), linear em B. Não é uma mola externa: a «rigidez» é o próprio campo.

O que significa n_B = qB/h?

Cada nível de Landau comporta um estado por quantum de fluxo Φ₀ = h/q através da área da amostra, daí a densidade de degenerescência qB/h. Preencher um número inteiro de níveis dá os platôs de Hall inteiros. A resistência de Hall não é calculada aqui.

O raio clássico da órbita é igual ao r_n quântico?

r_n = ℓ_B √(2n+1) coincide com o raio ciclotrônico quadrático médio do nível n no calibre simétrico e serve para estimar a escala. O estado quântico completo é uma variedade degenerada de posições do centro da órbita, não um único círculo clássico; o desenho é de aula.

Níveis de Landau

Carga num campo magnético uniforme: escada E_n = ℏω_c(n+½), frequência ciclotrônica ω_c = qB/m, comprimento magnético ℓ_B = √(ℏ/qB). A degenerescência n_B = qB/h está na base do efeito Hall quântico.

Sobre o modelo

Os níveis de Landau: uma partícula carregada num campo magnético uniforme B ocupa níveis equidistantes E_n = ħ ω_c (n+½), com frequência ciclotrônica ω_c = qB/m. O comprimento magnético ℓ_B = √(ħ/qB) fixa a escala da órbita; o raio ciclotrônico clássico do nível n é r_n = ℓ_B √(2n+1). Na tela — a órbita ciclotrônica e o leque de energias lineares em B; a densidade superficial de degenerescência n_B = qB/h está na base do efeito Hall quântico inteiro. O modelo é uma só carga livre num B perpendicular uniforme, sem desordem, campo elétrico nem desdobramento Zeeman. Mudam-se B e o índice n: o espaçamento dos níveis e o tamanho da órbita.

Para quem: Física da matéria condensada na graduação e mecânica quântica: quantização de Landau e efeito Hall quântico.

Conceitos-chave

níveis de Landau
frequência ciclotrônica
comprimento magnético
efeito Hall quântico
densidade de degenerescência
leque de Landau

Como funciona

Carga num campo B uniforme: E_n = ħω_c(n+½), ω_c = qB/m, comprimento magnético ℓ_B = √(ħ/qB), raio r_n = ℓ_B √(2n+1). Na tela — a órbita ciclotrônica e o leque de níveis lineares em B. A densidade de degenerescência n_B = qB/h é a base do efeito Hall quântico inteiro. Mudam-se B e o número do nível n.

Perguntas frequentes

Por que os níveis de Landau são equidistantes, como num oscilador?: O acoplamento mínimo ao campo eletromagnético (troca p → p − qA) reduz a energia cinética no plano a um oscilador harmônico de frequência ω_c = qB/m. Daí E_n = ħ ω_c (n+½), linear em B. Não é uma mola externa: a «rigidez» é o próprio campo.
O que significa n_B = qB/h?: Cada nível de Landau comporta um estado por quantum de fluxo Φ₀ = h/q através da área da amostra, daí a densidade de degenerescência qB/h. Preencher um número inteiro de níveis dá os platôs de Hall inteiros. A resistência de Hall não é calculada aqui.
O raio clássico da órbita é igual ao r_n quântico?: r_n = ℓ_B √(2n+1) coincide com o raio ciclotrônico quadrático médio do nível n no calibre simétrico e serve para estimar a escala. O estado quântico completo é uma variedade degenerada de posições do centro da órbita, não um único círculo clássico; o desenho é de aula.

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