Warum sind Landau-Niveaus äquidistant wie beim Oszillator?

Die minimale Kopplung an das elektromagnetische Feld (Ersatz p → p − qA) führt die kinetische Energie in der Ebene auf einen harmonischen Oszillator mit der Frequenz ω_c = qB/m zurück. Daher E_n = ħ ω_c (n+½), linear in B. Das ist keine äußere Feder: die „Steifigkeit“ setzt das Feld selbst.

Was bedeutet n_B = qB/h?

Jedes Landau-Niveau fasst einen Zustand pro Flussquant Φ₀ = h/q durch die Probenfläche, daher die Entartungsdichte qB/h. Die Füllung einer ganzen Zahl von Niveaus liefert die ganzzahligen Hall-Plateaus. Der Hall-Widerstand wird hier nicht berechnet.

Ist der klassische Bahnradius gleich dem quantenmechanischen r_n?

r_n = ℓ_B √(2n+1) stimmt mit dem quadratisch gemittelten Zyklotronradius des Niveaus n in der symmetrischen Eichung überein und eignet sich zur Abschätzung der Skala. Der volle Quantenzustand ist eine entartete Mannigfaltigkeit der Bahnzentren, kein einzelner klassischer Kreis; die Zeichnung ist didaktisch.

Landau-Niveaus

Ladung im homogenen Magnetfeld: Leiter E_n = ℏω_c(n+½), Zyklotronfrequenz ω_c = qB/m, magnetische Länge ℓ_B = √(ℏ/qB). Die Entartung n_B = qB/h liegt dem Quanten-Hall-Effekt zugrunde.

Zum Modell

Landau-Niveaus: ein geladenes Teilchen im homogenen Magnetfeld B besetzt äquidistante Niveaus E_n = ħ ω_c (n+½) mit der Zyklotronfrequenz ω_c = qB/m. Die magnetische Länge ℓ_B = √(ħ/qB) setzt die Bahnskala; der klassische Zyklotronradius zum Niveau n ist r_n = ℓ_B √(2n+1). Auf dem Bildschirm die Zyklotronbahn und der Energiefächer, linear in B; die flächenhafte Entartungsdichte n_B = qB/h liegt dem ganzzahligen Quanten-Hall-Effekt zugrunde. Das Modell ist eine einzige freie Ladung im homogenen senkrechten B ohne Unordnung, ohne elektrisches Feld und ohne Zeeman-Aufspaltung. Man ändert B und den Index n: Abstand der Niveaus und Größe der Bahn.

Für wen: Festkörperphysik und Quantenmechanik im Bachelor: Landau-Quantisierung und Quanten-Hall-Effekt.

Wichtige Begriffe

landau-niveaus
zyklotronfrequenz
magnetische länge
quanten-hall-effekt
entartungsdichte
landau-fächer

So funktioniert es

Ladung im homogenen Feld B: E_n = ħω_c(n+½), ω_c = qB/m, magnetische Länge ℓ_B = √(ħ/qB), Radius r_n = ℓ_B √(2n+1). Auf dem Bildschirm die Zyklotronbahn und der Fächer der in B linearen Niveaus. Die Entartungsdichte n_B = qB/h ist die Grundlage des ganzzahligen Quanten-Hall-Effekts. Man ändert B und die Niveaunummer n.

Häufige Fragen

Warum sind Landau-Niveaus äquidistant wie beim Oszillator?: Die minimale Kopplung an das elektromagnetische Feld (Ersatz p → p − qA) führt die kinetische Energie in der Ebene auf einen harmonischen Oszillator mit der Frequenz ω_c = qB/m zurück. Daher E_n = ħ ω_c (n+½), linear in B. Das ist keine äußere Feder: die „Steifigkeit“ setzt das Feld selbst.
Was bedeutet n_B = qB/h?: Jedes Landau-Niveau fasst einen Zustand pro Flussquant Φ₀ = h/q durch die Probenfläche, daher die Entartungsdichte qB/h. Die Füllung einer ganzen Zahl von Niveaus liefert die ganzzahligen Hall-Plateaus. Der Hall-Widerstand wird hier nicht berechnet.
Ist der klassische Bahnradius gleich dem quantenmechanischen r_n?: r_n = ℓ_B √(2n+1) stimmt mit dem quadratisch gemittelten Zyklotronradius des Niveaus n in der symmetrischen Eichung überein und eignet sich zur Abschätzung der Skala. Der volle Quantenzustand ist eine entartete Mannigfaltigkeit der Bahnzentren, kein einzelner klassischer Kreis; die Zeichnung ist didaktisch.

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