Depois de dez caras seguidas, a moeda não está «devendo» uma coroa?

Não. Cada lançamento de uma moeda honesta é independente, de modo que a probabilidade de cara continua 1/2, aconteça o que acontecer antes. A lei dos grandes números não funciona por compensação: ela diz que a fração de caras se aproxima de 1/2, não que o número de caras se aproxime do número de coroas. Na verdade a diferença de contagem #caras − #coroas em geral cresce como √n. O excesso de caras não é cancelado; ele é diluído, porque é dividido por um n cada vez maior.

De quantos lançamentos preciso para a média acumulada ficar a até 0,01 de 1/2?

O desvio padrão da média acumulada é σ/√n, com σ = 1/2 para uma moeda honesta. Igualar σ/√n = 0,01 dá n = 2500 para um erro típico de um desvio padrão; para ficar dentro de ±0,01 em cerca de 95 % das corridas é preciso 2σ/√n = 0,01, isto é, n = 10 000. Por causa da raiz quadrada, uma casa decimal a mais de precisão custa sempre cem vezes mais ensaios, e é por isso que a convergência parece tão lenta no gráfico.

Por que cerca de 68 % das corridas ficam dentro da faixa μ ± σ/√n, e por que não exatamente?

Para ensaios independentes a variância de x̄ₙ é exatamente σ²/n, de modo que σ/√n é o seu desvio padrão exato. Pelo teorema central do limite x̄ₙ é aproximadamente normal quando n chega a algumas dezenas ou mais, e uma variável normal cai a até um desvio padrão da sua média com probabilidade 0,683. O valor só é aproximado para n pequeno, quando a distribuição de x̄ₙ ainda é discreta e assimétrica (sobretudo na moeda viciada), e com apenas 5 ou 8 corridas a fração observada só pode tomar uns poucos valores, de modo que oscila em torno de 68 % em vez de igualá-lo.

A lei dos grandes números vale também para a moeda viciada e para a roleta?

Sim. A lei só precisa de resultados independentes e identicamente distribuídos com média finita; para a velocidade da convergência basta uma variância finita. A média acumulada da moeda viciada converge para p = 0,3 e a da aposta na roleta para 18/37 ≈ 0,486, não para 1/2. Para quem aposta, a notícia é ruim: a média do ganho por giro converge para um número negativo (−1/37 da aposta numa aposta que paga 1 para 1), de modo que jogar por mais tempo torna a perda mais certa, e não menos.

Lei dos grandes números

Moeda ou dado: a média acumulada x̄ₙ de várias corridas converge para μ; a faixa ±σ/√n mostra como isso é lento.

Experimento

Experimento aleatório

Corridas em paralelo5

Ensaios por segundo: 2048/100

Faixa μ ± σ/√nFaixa μ ± 2σ/√nMostrar em vez disso a diferença de contagem (Sₙ − nμ, p.ex. #caras − n/2)

Cada corrida extrai resultados independentes de um gerador aleatório com semente (Reiniciar troca a semente; mudar o experimento mantém a semente). A média acumulada é atualizada de forma incremental, x̄ₙ = x̄ₙ₋₁ + (xₙ − x̄ₙ₋₁)/n, e μ, σ são exatos: moeda μ = p, σ = √(p(1−p)); dado μ = 3,5, σ = √(35/12). A lei dos grandes números trata da média que converge para μ — a diferença de contagem Sₙ − nμ não encolhe; o seu tamanho típico cresce como σ√n.

Atalhos de teclado

Espaço / Enter — um ensaio em cada corrida
P — reproduzir / pausar
R — reiniciar (semente nova)

Grandezas medidas

μ (teoria)0.5000

σ (um ensaio)0.5000

Ensaios n até agora0

x̄ₙ (corrida 1)—

|x̄ₙ − μ| (corrida 1)—

σ/√n no n atual—

Dispersão das corridas (máx − mín)—

Corridas dentro de μ ± σ/√n—

Diferença de contagem Sₙ − nμ (corrida 1)—

Sobre o modelo

O simulador repete muitas vezes um mesmo experimento aleatório e acompanha a média acumulada x̄ₙ = (x₁ + … + xₙ)/n enquanto o número de ensaios n cresce de 1 a 10 000. Há quatro experimentos, cada um com o valor esperado μ e o desvio padrão σ de um único resultado escritos em forma fechada: uma moeda honesta com cara = 1 (μ = 1/2, σ = 1/2), um dado honesto de seis faces (μ = 3,5, σ = √(35/12) ≈ 1,708), uma moeda viciada com P(cara) = 0,3 (μ = 0,3, σ = √(0,3·0,7) ≈ 0,458) e uma aposta no vermelho na roleta de um zero, 18 casas vermelhas em 37 (μ = 18/37 ≈ 0,486, σ = √(μ(1−μ)) ≈ 0,500). Até oito corridas independentes são extraídas em paralelo de um gerador pseudoaleatório com semente (mulberry32), de modo que a sessão é reproduzível até que Reiniciar sorteie uma semente nova; a média acumulada é atualizada de forma incremental, x̄ₙ = x̄ₙ₋₁ + (xₙ − x̄ₙ₋₁)/n, o que é numericamente estável e não precisa de uma lista guardada da amostra. O gráfico usa um eixo n logarítmico, para as grandes flutuações do começo e a convergência lenta do fim aparecerem na mesma figura. A linha horizontal amarela é μ; a faixa sombreada μ ± σ/√n é o desvio padrão exato de x̄ₙ para ensaios independentes, Var(x̄ₙ) = σ²/n, e a segunda faixa opcional é μ ± 2σ/√n. Para n de algumas dezenas ou mais, o teorema central do limite torna x̄ₙ aproximadamente normal, de modo que cerca de 68 % das corridas devem ficar dentro da primeira faixa e cerca de 95 % dentro da segunda; a leitura conta quantas das corridas atuais ficam. A opção «Mostrar a diferença de contagem» redesenha os mesmos dados como Sₙ − nμ (para a moeda honesta, exatamente #caras − n/2). O desvio padrão dela é σ√n: a diferença de contagem não encolhe, e sim cresce, ainda que a média convirja — a lei dos grandes números é um enunciado sobre médias, não sobre contagens, e ela nunca «compensa» os resultados passados. Simplificações: os resultados são independentes e identicamente distribuídos com variância finita (as hipóteses das leis fraca e forte), o gerador é pseudoaleatório e a figura para em n = 10⁴. Simuladores relacionados: statistics/galton-board e statistics/binomial-distribution (a distribuição do próprio Sₙ), statistics/central-limit-theorem (por que x̄ₙ fica normal), statistics/confidence-interval (usar σ/√n para construir um intervalo para μ) e math/monte-carlo-pi e math/monte-carlo-integration-variance-reduction (a mesma lei de erro 1/√n na estimativa de Monte Carlo).

Para quem: Ensino médio (10.º ao 12.º ano) e cursos introdutórios de probabilidade e estatística do primeiro ano.

Conceitos-chave

lei dos grandes números
média acumulada
valor esperado μ
desvio padrão σ
erro padrão σ/√n
ensaios independentes
falácia do jogador
convergência em probabilidade

Como funciona

Cada corrida repete o mesmo experimento aleatório — uma moeda honesta (cara = 1), um dado honesto, uma moeda viciada com p = 0,3 ou uma aposta no vermelho na roleta (18 de 37 casas) — e traça a média acumulada x̄ₙ contra o número de ensaios n num eixo logarítmico, de modo que as oscilações fortes do começo e a convergência lenta do fim aparecem juntas. A lei dos grandes números diz que x̄ₙ converge para o valor esperado μ; a faixa amarela μ ± σ/√n é o desvio padrão de x̄ₙ, de modo que cerca de 68 % das corridas ficam dentro dela em qualquer n, e ela só encolhe como 1/√n — cem vezes mais ensaios compram uma casa decimal a mais. A lei trata da média, não da contagem: marque «Mostrar a diferença de contagem» e os mesmos dados são desenhados como Sₙ − nμ (#caras − n/2 para a moeda), que não volta a zero e vagueia com tamanho típico σ√n — não existe uma «lei das médias» que lhe deva coroas depois de uma sequência de caras. Os resultados vêm de um gerador com semente, de modo que uma corrida se repete até apertar Reiniciar.

Fórmulas principais

x̄ₙ = (x₁ + … + xₙ)/n → μ quando n → ∞ (P(|x̄ₙ − μ| > ε) → 0 para todo ε > 0)

DP(x̄ₙ) = σ/√n — encolhe; DP(Sₙ − nμ) = σ√n — cresce

x̄ₙ = x̄ₙ₋₁ + (xₙ − x̄ₙ₋₁)/n (atualização incremental)

moeda: μ = p, σ = √(p(1−p)); dado: μ = 3,5, σ = √(35/12) ≈ 1,708; vermelho: p = 18/37

Perguntas frequentes

Depois de dez caras seguidas, a moeda não está «devendo» uma coroa?: Não. Cada lançamento de uma moeda honesta é independente, de modo que a probabilidade de cara continua 1/2, aconteça o que acontecer antes. A lei dos grandes números não funciona por compensação: ela diz que a fração de caras se aproxima de 1/2, não que o número de caras se aproxime do número de coroas. Na verdade a diferença de contagem #caras − #coroas em geral cresce como √n. O excesso de caras não é cancelado; ele é diluído, porque é dividido por um n cada vez maior.
De quantos lançamentos preciso para a média acumulada ficar a até 0,01 de 1/2?: O desvio padrão da média acumulada é σ/√n, com σ = 1/2 para uma moeda honesta. Igualar σ/√n = 0,01 dá n = 2500 para um erro típico de um desvio padrão; para ficar dentro de ±0,01 em cerca de 95 % das corridas é preciso 2σ/√n = 0,01, isto é, n = 10 000. Por causa da raiz quadrada, uma casa decimal a mais de precisão custa sempre cem vezes mais ensaios, e é por isso que a convergência parece tão lenta no gráfico.
Por que cerca de 68 % das corridas ficam dentro da faixa μ ± σ/√n, e por que não exatamente?: Para ensaios independentes a variância de x̄ₙ é exatamente σ²/n, de modo que σ/√n é o seu desvio padrão exato. Pelo teorema central do limite x̄ₙ é aproximadamente normal quando n chega a algumas dezenas ou mais, e uma variável normal cai a até um desvio padrão da sua média com probabilidade 0,683. O valor só é aproximado para n pequeno, quando a distribuição de x̄ₙ ainda é discreta e assimétrica (sobretudo na moeda viciada), e com apenas 5 ou 8 corridas a fração observada só pode tomar uns poucos valores, de modo que oscila em torno de 68 % em vez de igualá-lo.
A lei dos grandes números vale também para a moeda viciada e para a roleta?: Sim. A lei só precisa de resultados independentes e identicamente distribuídos com média finita; para a velocidade da convergência basta uma variância finita. A média acumulada da moeda viciada converge para p = 0,3 e a da aposta na roleta para 18/37 ≈ 0,486, não para 1/2. Para quem aposta, a notícia é ruim: a média do ganho por giro converge para um número negativo (−1/37 da aposta numa aposta que paga 1 para 1), de modo que jogar por mais tempo torna a perda mais certa, e não menos.

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