Tras diez caras seguidas, ¿no le «toca» ya cruz a la moneda?

No. Cada lanzamiento de una moneda equilibrada es independiente, así que la probabilidad de cara sigue siendo 1/2, pase lo que pase antes. La ley de los grandes números no funciona por compensación: dice que la fracción de caras se acerca a 1/2, no que el número de caras se acerque al de cruces. De hecho, la diferencia de recuento, n.º de caras − n.º de cruces, suele crecer como √n. El exceso de caras no se cancela; se diluye, porque se divide por un n cada vez mayor.

¿Cuántos lanzamientos necesito para que la media acumulada quede a menos de 0,01 de 1/2?

La desviación estándar de la media acumulada es σ/√n, con σ = 1/2 en una moneda equilibrada. Al imponer σ/√n = 0,01 sale n = 2500 para un error típico de una desviación estándar; para quedar dentro de ±0,01 en cerca del 95 % de las corridas hace falta 2σ/√n = 0,01, es decir n = 10 000. Por la raíz cuadrada, un decimal más de precisión cuesta siempre cien veces más ensayos, y por eso la convergencia se ve tan lenta en la gráfica.

¿Por qué cerca del 68 % de las corridas queda dentro de la banda μ ± σ/√n, y por qué no exactamente?

En ensayos independientes la varianza de x̄ₙ es exactamente σ²/n, así que σ/√n es su desviación estándar exacta. Por el teorema central del límite, x̄ₙ es aproximadamente normal cuando n es de unas pocas decenas o más, y una variable normal cae a menos de una desviación estándar de su media con probabilidad 0,683. El valor solo es aproximado si n es pequeño, cuando la distribución de x̄ₙ sigue siendo discreta y sesgada (sobre todo con la moneda sesgada), y con solo 5 u 8 corridas la fracción observada solo puede tomar unos pocos valores, así que fluctúa alrededor del 68 % en vez de igualarlo.

¿La ley de los grandes números vale también para la moneda sesgada y para la ruleta?

Sí. La ley solo exige resultados independientes e idénticamente distribuidos con media finita; para el ritmo de convergencia basta una varianza finita. La media acumulada de la moneda sesgada converge a p = 0,3 y la de la apuesta a la ruleta a 18/37 ≈ 0,486, no a 1/2. Para quien apuesta, esa es la mala noticia: la media de la ganancia por giro converge a un número negativo (−1/37 de la puesta en una apuesta a la par), así que jugar más tiempo hace la pérdida más segura, no menos.

Ley de los grandes números

Moneda o dado: la media acumulada x̄ₙ de varias corridas converge a μ; la banda ±σ/√n muestra lo lenta que es.

Experimento

Experimento aleatorio

Corridas en paralelo5

Ensayos por segundo: 2048/100

Banda μ ± σ/√nBanda μ ± 2σ/√nMostrar la diferencia de recuento en su lugar (Sₙ − nμ, p. ej. n.º de caras − n/2)

Cada corrida extrae resultados independientes de un generador aleatorio con semilla (Reiniciar cambia la semilla; cambiar el experimento la conserva). La media acumulada se actualiza de forma incremental, x̄ₙ = x̄ₙ₋₁ + (xₙ − x̄ₙ₋₁)/n, y μ, σ son exactos: moneda μ = p, σ = √(p(1−p)); dado μ = 3,5, σ = √(35/12). La ley de los grandes números dice que la media converge a μ: la diferencia de recuento Sₙ − nμ no se reduce; su tamaño típico crece como σ√n.

Atajos de teclado

Space / Enter — un ensayo en cada corrida
P — reproducir / pausar
R — reiniciar (semilla nueva)

Magnitudes medidas

μ (teoría)0.5000

σ (un ensayo)0.5000

Ensayos n hasta ahora0

x̄ₙ (corrida 1)—

|x̄ₙ − μ| (corrida 1)—

σ/√n en el n actual—

Dispersión de las corridas (máx. − mín.)—

Corridas dentro de μ ± σ/√n—

Diferencia de recuento Sₙ − nμ (corrida 1)—

Sobre el modelo

El simulador repite muchas veces un experimento aleatorio y sigue la media acumulada x̄ₙ = (x₁ + … + xₙ)/n mientras el número de ensayos n crece de 1 a 10 000. Hay cuatro experimentos, cada uno con su valor esperado μ y su desviación estándar σ de un solo resultado, en forma cerrada: una moneda equilibrada con cara = 1 (μ = 1/2, σ = 1/2), un dado equilibrado de seis caras (μ = 3,5, σ = √(35/12) ≈ 1,708), una moneda sesgada con P(cara) = 0,3 (μ = 0,3, σ = √(0,3·0,7) ≈ 0,458) y una apuesta al rojo en la ruleta de un solo cero, 18 casillas rojas de 37 (μ = 18/37 ≈ 0,486, σ = √(μ(1−μ)) ≈ 0,500). Se dibujan en paralelo hasta ocho corridas independientes a partir de un generador seudoaleatorio con semilla (mulberry32), así que la sesión se puede repetir hasta que Reiniciar saca una semilla nueva; la media acumulada se actualiza de forma incremental, x̄ₙ = x̄ₙ₋₁ + (xₙ − x̄ₙ₋₁)/n, que es numéricamente estable y no necesita guardar la lista de la muestra. La gráfica usa un eje n logarítmico para que las grandes fluctuaciones del principio y la convergencia lenta del final aparezcan en la misma imagen. La línea horizontal amarilla es μ; la banda sombreada μ ± σ/√n es la desviación estándar exacta de x̄ₙ en ensayos independientes, Var(x̄ₙ) = σ²/n, y la segunda banda opcional es μ ± 2σ/√n. Para n de unas pocas decenas o más, el teorema central del límite hace que x̄ₙ sea aproximadamente normal, así que cerca del 68 % de las corridas debería quedar dentro de la primera banda y cerca del 95 % dentro de la segunda; el indicador cuenta cuántas de las corridas actuales lo hacen. La casilla «Mostrar la diferencia de recuento» redibuja los mismos datos como Sₙ − nμ (en la moneda equilibrada, exactamente n.º de caras − n/2). Su desviación estándar es σ√n: la diferencia de recuento no se reduce, sino que crece, aunque la media converja. La ley de los grandes números habla de promedios, no de recuentos, y nunca «compensa» los resultados anteriores. Simplificaciones: los resultados son independientes e idénticamente distribuidos con varianza finita (los supuestos de las leyes débil y fuerte), el generador es seudoaleatorio y la imagen se detiene en n = 10⁴. Simuladores relacionados en este sitio: statistics/galton-board y statistics/binomial-distribution (la distribución de la propia Sₙ), statistics/central-limit-theorem (por qué x̄ₙ se vuelve normal), statistics/confidence-interval (usar σ/√n para construir un intervalo para μ) y math/monte-carlo-pi y math/monte-carlo-integration-variance-reduction (la misma ley de error 1/√n en la estimación de Monte Carlo).

Para quién: Secundaria superior (cursos 10–12) y primer curso universitario de probabilidad y estadística.

Conceptos clave

ley de los grandes números
media acumulada
valor esperado μ
desviación estándar σ
error estándar σ/√n
ensayos independientes
falacia del jugador
convergencia en probabilidad

Cómo funciona

Cada corrida repite el mismo experimento aleatorio —una moneda equilibrada (cara = 1), un dado equilibrado, una moneda sesgada con p = 0,3 o una apuesta a la ruleta al rojo (18 de 37 casillas)— y dibuja la media acumulada x̄ₙ frente al número de ensayos n en un eje logarítmico, de modo que los vaivenes fuertes del principio y la convergencia lenta del final se ven juntos. La ley de los grandes números dice que x̄ₙ converge al valor esperado μ; la banda amarilla μ ± σ/√n es la desviación estándar de x̄ₙ, así que cerca del 68 % de las corridas queda dentro para cualquier n, y solo se reduce como 1/√n: cien veces más ensayos compran un decimal más. La ley habla de la media, no del recuento: marque «Mostrar la diferencia de recuento» y los mismos datos se dibujan como Sₙ − nμ (n.º de caras − n/2 en la moneda), que no vuelve a cero sino que se aleja con tamaño típico σ√n. No hay una «ley de los promedios» que le deba una cruz tras una racha de caras. Los resultados salen de un generador con semilla, así que una corrida se puede repetir hasta pulsar Reiniciar.

Fórmulas principales

x̄ₙ = (x₁ + … + xₙ)/n → μ cuando n → ∞ (P(|x̄ₙ − μ| > ε) → 0 para todo ε > 0)

DE(x̄ₙ) = σ/√n — se reduce; DE(Sₙ − nμ) = σ√n — crece

x̄ₙ = x̄ₙ₋₁ + (xₙ − x̄ₙ₋₁)/n (actualización incremental)

moneda: μ = p, σ = √(p(1−p)); dado: μ = 3,5, σ = √(35/12) ≈ 1,708; rojo: p = 18/37

Preguntas frecuentes

Tras diez caras seguidas, ¿no le «toca» ya cruz a la moneda?: No. Cada lanzamiento de una moneda equilibrada es independiente, así que la probabilidad de cara sigue siendo 1/2, pase lo que pase antes. La ley de los grandes números no funciona por compensación: dice que la fracción de caras se acerca a 1/2, no que el número de caras se acerque al de cruces. De hecho, la diferencia de recuento, n.º de caras − n.º de cruces, suele crecer como √n. El exceso de caras no se cancela; se diluye, porque se divide por un n cada vez mayor.
¿Cuántos lanzamientos necesito para que la media acumulada quede a menos de 0,01 de 1/2?: La desviación estándar de la media acumulada es σ/√n, con σ = 1/2 en una moneda equilibrada. Al imponer σ/√n = 0,01 sale n = 2500 para un error típico de una desviación estándar; para quedar dentro de ±0,01 en cerca del 95 % de las corridas hace falta 2σ/√n = 0,01, es decir n = 10 000. Por la raíz cuadrada, un decimal más de precisión cuesta siempre cien veces más ensayos, y por eso la convergencia se ve tan lenta en la gráfica.
¿Por qué cerca del 68 % de las corridas queda dentro de la banda μ ± σ/√n, y por qué no exactamente?: En ensayos independientes la varianza de x̄ₙ es exactamente σ²/n, así que σ/√n es su desviación estándar exacta. Por el teorema central del límite, x̄ₙ es aproximadamente normal cuando n es de unas pocas decenas o más, y una variable normal cae a menos de una desviación estándar de su media con probabilidad 0,683. El valor solo es aproximado si n es pequeño, cuando la distribución de x̄ₙ sigue siendo discreta y sesgada (sobre todo con la moneda sesgada), y con solo 5 u 8 corridas la fracción observada solo puede tomar unos pocos valores, así que fluctúa alrededor del 68 % en vez de igualarlo.
¿La ley de los grandes números vale también para la moneda sesgada y para la ruleta?: Sí. La ley solo exige resultados independientes e idénticamente distribuidos con media finita; para el ritmo de convergencia basta una varianza finita. La media acumulada de la moneda sesgada converge a p = 0,3 y la de la apuesta a la ruleta a 18/37 ≈ 0,486, no a 1/2. Para quien apuesta, esa es la mala noticia: la media de la ganancia por giro converge a un número negativo (−1/37 de la puesta en una apuesta a la par), así que jugar más tiempo hace la pérdida más segura, no menos.

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