Nach zehnmal Kopf in Folge: ist die Münze nicht „fällig“ für Zahl?

Nein. Jeder Wurf einer fairen Münze ist unabhängig, die Wahrscheinlichkeit für Kopf bleibt also 1/2, ganz gleich, was vorher war. Das Gesetz der großen Zahlen arbeitet nicht durch Ausgleich: es sagt, dass der Anteil der Köpfe gegen 1/2 geht, nicht dass die Anzahl Kopf sich der Anzahl Zahl annähert. Die Zähldifferenz Köpfe − Zahlen wächst vielmehr typischerweise wie √n. Der Überschuss an Kopf wird nicht ausgeglichen, sondern verdünnt, weil er durch ein immer größeres n geteilt wird.

Wie viele Würfe brauche ich, bis das laufende Mittel bis auf 0,01 an 1/2 liegt?

Die Standardabweichung des laufenden Mittels ist σ/√n mit σ = 1/2 bei einer fairen Münze. Setzt man σ/√n = 0,01, folgt n = 2500 für einen typischen Fehler von einer Standardabweichung; um in etwa 95 % der Läufe innerhalb ±0,01 zu liegen, braucht man 2σ/√n = 0,01, also n = 10 000. Wegen der Wurzel kostet eine weitere Dezimalstelle Genauigkeit immer hundertmal mehr Versuche, deshalb wirkt die Konvergenz im Diagramm so langsam.

Warum liegen grob 68 % der Läufe im Band μ ± σ/√n, und warum nicht genau?

Bei unabhängigen Versuchen ist die Varianz von x̄ₙ exakt σ²/n, σ/√n ist also seine exakte Standardabweichung. Nach dem zentralen Grenzwertsatz ist x̄ₙ näherungsweise normal, sobald n einige Dutzend oder mehr beträgt, und eine normalverteilte Größe liegt mit Wahrscheinlichkeit 0,683 innerhalb einer Standardabweichung um ihr Mittel. Der Wert ist nur näherungsweise bei kleinem n, wenn die Verteilung von x̄ₙ noch diskret und schief ist (besonders bei der unfairen Münze), und bei nur 5 oder 8 Läufen kann der beobachtete Anteil nur wenige Werte annehmen, er schwankt also um 68 %, statt ihm gleich zu sein.

Gilt das Gesetz der großen Zahlen auch für die unfaire Münze und das Roulette?

Ja. Das Gesetz braucht nur unabhängige, identisch verteilte Ausgänge mit endlichem Mittel; für das Tempo der Konvergenz reicht eine endliche Varianz. Das laufende Mittel der unfairen Münze geht gegen p = 0,3 und das der Roulette-Wette gegen 18/37 ≈ 0,486, nicht gegen 1/2. Für einen Spieler ist das die schlechte Nachricht: das Mittel des Gewinns je Drehung geht gegen eine negative Zahl (−1/37 des Einsatzes bei einer einfachen Chance), längeres Spiel macht den Verlust also sicherer, nicht unsicherer.

Gesetz der großen Zahlen

Münze oder Würfel: das laufende Mittel x̄ₙ mehrerer Läufe geht gegen μ; die Hülle ±σ/√n zeigt, wie langsam.

Experiment

Zufallsexperiment

Parallele Läufe5

Versuche je Sekunde: 2048/100

Band μ ± σ/√nBand μ ± 2σ/√nStattdessen Zähldifferenz zeigen (Sₙ − nμ, z. B. Köpfe − n/2)

Jeder Lauf zieht unabhängige Ausgänge aus einem Zufallsgenerator mit Startwert (Zurücksetzen zieht einen neuen; wechselt man das Experiment, bleibt der Startwert). Das laufende Mittel wird schrittweise aktualisiert, x̄ₙ = x̄ₙ₋₁ + (xₙ − x̄ₙ₋₁)/n, und μ, σ sind exakt: Münze μ = p, σ = √(p(1−p)); Würfel μ = 3,5, σ = √(35/12). Das Gesetz der großen Zahlen betrifft das Mittel, das gegen μ geht — die Zähldifferenz Sₙ − nμ schrumpft nicht; ihre typische Größe wächst wie σ√n.

Tastenkürzel

Space / Enter — ein Versuch für jeden Lauf
P — Start / Pause
R — zurücksetzen (neuer Startwert)

Gemessene Größen

μ (Theorie)0.5000

σ (ein Versuch)0.5000

Versuche n bisher0

x̄ₙ (Lauf 1)—

|x̄ₙ − μ| (Lauf 1)—

σ/√n beim aktuellen n—

Streuung der Läufe (max − min)—

Läufe innerhalb μ ± σ/√n—

Zähldifferenz Sₙ − nμ (Lauf 1)—

Zum Modell

Der Simulator wiederholt ein Zufallsexperiment viele Male und verfolgt das laufende Mittel x̄ₙ = (x₁ + … + xₙ)/n, während die Zahl der Versuche n von 1 bis 10 000 wächst. Vier Experimente stehen bereit, jedes mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ eines einzelnen Ausgangs in geschlossener Form: eine faire Münze mit Kopf = 1 (μ = 1/2, σ = 1/2), ein fairer sechsseitiger Würfel (μ = 3,5, σ = √(35/12) ≈ 1,708), eine unfaire Münze mit P(Kopf) = 0,3 (μ = 0,3, σ = √(0,3·0,7) ≈ 0,458) und eine Wette auf Rot beim Roulette mit einer Null, 18 rote Fächer von 37 (μ = 18/37 ≈ 0,486, σ = √(μ(1−μ)) ≈ 0,500). Bis zu acht unabhängige Läufe werden parallel aus einem Pseudozufallsgenerator mit Startwert (mulberry32) gezogen, ein Durchlauf bleibt also reproduzierbar, bis Zurücksetzen einen neuen Startwert zieht; das laufende Mittel wird schrittweise aktualisiert, x̄ₙ = x̄ₙ₋₁ + (xₙ − x̄ₙ₋₁)/n, das ist numerisch stabil und braucht keine gespeicherte Stichprobenliste. Die n-Achse ist logarithmisch, sodass die großen frühen Schwankungen und die langsame späte Konvergenz auf demselben Bild erscheinen. Die gelbe waagerechte Linie ist μ; die schattierte Hülle μ ± σ/√n ist die exakte Standardabweichung von x̄ₙ bei unabhängigen Versuchen, Var(x̄ₙ) = σ²/n, und das wahlweise zweite Band ist μ ± 2σ/√n. Ist n einige Dutzend oder mehr, macht der zentrale Grenzwertsatz x̄ₙ näherungsweise normal, etwa 68 % der Läufe sollten also im ersten Band liegen und etwa 95 % im zweiten; die Anzeige zählt, wie viele der aktuellen Läufe das tun. Das Kästchen „Zähldifferenz zeigen“ zeichnet dieselben Daten als Sₙ − nμ (bei der fairen Münze genau Köpfe − n/2). Dessen Standardabweichung ist σ√n: die Zähldifferenz schrumpft nicht, sondern wächst, obwohl das Mittel konvergiert — das Gesetz der großen Zahlen ist eine Aussage über Mittel, nicht über Anzahlen, und es „gleicht“ vergangene Ausgänge nie aus. Vereinfachungen: die Ausgänge sind unabhängig und identisch verteilt mit endlicher Varianz (die Annahmen des schwachen und des starken Gesetzes), der Generator ist pseudozufällig, und das Bild endet bei n = 10⁴. Verwandte Simulatoren auf dieser Seite: statistics/galton-board und statistics/binomial-distribution (die Verteilung von Sₙ selbst), statistics/central-limit-theorem (warum x̄ₙ normal wird), statistics/confidence-interval (σ/√n nutzen, um ein Intervall für μ zu bauen) sowie math/monte-carlo-pi und math/monte-carlo-integration-variance-reduction (dasselbe 1/√n-Fehlergesetz bei der Monte-Carlo-Schätzung).

Für wen: Oberstufe (Klassen 10–12) und einführende Kurse in Wahrscheinlichkeit und Statistik im ersten Studienjahr.

Wichtige Begriffe

gesetz der großen zahlen
laufendes mittel
erwartungswert μ
standardabweichung σ
standardfehler σ/√n
unabhängige versuche
spielerfehlschluss
konvergenz in wahrscheinlichkeit

So funktioniert es

Jeder Lauf wiederholt dasselbe Zufallsexperiment — eine faire Münze (Kopf = 1), einen fairen Würfel, eine unfaire Münze mit p = 0,3 oder eine Roulette-Wette auf Rot (18 von 37 Fächern) — und zeichnet das laufende Mittel x̄ₙ gegen die Zahl der Versuche n auf einer logarithmischen Achse, sodass die wilden frühen Ausschläge und die langsame späte Konvergenz zusammen sichtbar sind. Das Gesetz der großen Zahlen sagt, dass x̄ₙ gegen den Erwartungswert μ geht; die gelbe Hülle μ ± σ/√n ist die Standardabweichung von x̄ₙ, etwa 68 % der Läufe liegen bei jedem n darin, und sie schrumpft nur wie 1/√n — hundertmal mehr Versuche bringen eine weitere Dezimalstelle. Das Gesetz betrifft das Mittel, nicht die Anzahl: „Zähldifferenz zeigen“ ankreuzen, dann werden dieselben Daten als Sₙ − nμ gezeichnet (Köpfe − n/2 bei der Münze), das nicht zur Null zurückkehrt, sondern mit typischer Größe σ√n wandert — es gibt kein „Gesetz des Ausgleichs“, das einem nach einer Serie von Kopf Zahl schuldet. Die Ausgänge kommen aus einem Generator mit Startwert, ein Lauf ist also reproduzierbar, bis man Zurück drückt.

Wichtige Gleichungen

x̄ₙ = (x₁ + … + xₙ)/n → μ für n → ∞ (P(|x̄ₙ − μ| > ε) → 0 für jedes ε > 0)

SD(x̄ₙ) = σ/√n — schrumpft; SD(Sₙ − nμ) = σ√n — wächst

x̄ₙ = x̄ₙ₋₁ + (xₙ − x̄ₙ₋₁)/n (schrittweise Aktualisierung)

Münze: μ = p, σ = √(p(1−p)); Würfel: μ = 3,5, σ = √(35/12) ≈ 1,708; Rot: p = 18/37

Häufige Fragen

Nach zehnmal Kopf in Folge: ist die Münze nicht „fällig“ für Zahl?: Nein. Jeder Wurf einer fairen Münze ist unabhängig, die Wahrscheinlichkeit für Kopf bleibt also 1/2, ganz gleich, was vorher war. Das Gesetz der großen Zahlen arbeitet nicht durch Ausgleich: es sagt, dass der Anteil der Köpfe gegen 1/2 geht, nicht dass die Anzahl Kopf sich der Anzahl Zahl annähert. Die Zähldifferenz Köpfe − Zahlen wächst vielmehr typischerweise wie √n. Der Überschuss an Kopf wird nicht ausgeglichen, sondern verdünnt, weil er durch ein immer größeres n geteilt wird.
Wie viele Würfe brauche ich, bis das laufende Mittel bis auf 0,01 an 1/2 liegt?: Die Standardabweichung des laufenden Mittels ist σ/√n mit σ = 1/2 bei einer fairen Münze. Setzt man σ/√n = 0,01, folgt n = 2500 für einen typischen Fehler von einer Standardabweichung; um in etwa 95 % der Läufe innerhalb ±0,01 zu liegen, braucht man 2σ/√n = 0,01, also n = 10 000. Wegen der Wurzel kostet eine weitere Dezimalstelle Genauigkeit immer hundertmal mehr Versuche, deshalb wirkt die Konvergenz im Diagramm so langsam.
Warum liegen grob 68 % der Läufe im Band μ ± σ/√n, und warum nicht genau?: Bei unabhängigen Versuchen ist die Varianz von x̄ₙ exakt σ²/n, σ/√n ist also seine exakte Standardabweichung. Nach dem zentralen Grenzwertsatz ist x̄ₙ näherungsweise normal, sobald n einige Dutzend oder mehr beträgt, und eine normalverteilte Größe liegt mit Wahrscheinlichkeit 0,683 innerhalb einer Standardabweichung um ihr Mittel. Der Wert ist nur näherungsweise bei kleinem n, wenn die Verteilung von x̄ₙ noch diskret und schief ist (besonders bei der unfairen Münze), und bei nur 5 oder 8 Läufen kann der beobachtete Anteil nur wenige Werte annehmen, er schwankt also um 68 %, statt ihm gleich zu sein.
Gilt das Gesetz der großen Zahlen auch für die unfaire Münze und das Roulette?: Ja. Das Gesetz braucht nur unabhängige, identisch verteilte Ausgänge mit endlichem Mittel; für das Tempo der Konvergenz reicht eine endliche Varianz. Das laufende Mittel der unfairen Münze geht gegen p = 0,3 und das der Roulette-Wette gegen 18/37 ≈ 0,486, nicht gegen 1/2. Für einen Spieler ist das die schlechte Nachricht: das Mittel des Gewinns je Drehung geht gegen eine negative Zahl (−1/37 des Einsatzes bei einer einfachen Chance), längeres Spiel macht den Verlust also sicherer, nicht unsicherer.

Machen Sie mit verwandten Themen in dieser Kategorie weiter — oder alle 10 in „Statistik und Wahrscheinlichkeit“.

Ganze Kategorie →

NeuKinder

Binomialverteilung

Simulation starten

Balken P(K = k) für n Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit p; Mittel np, Varianz np(1−p); Voreinstellungen Münze und seltenes Ereignis; Normalüberlagerung bei großem n.

NeuBeliebtKinder

Zentraler Grenzwertsatz

Simulation starten

Ausgangsverteilung wählen (gleichverteilt, exponentiell, binomial, Würfel), Stichproben der Größe n = 1, 5, 30 ziehen; das Histogramm der Mittel wird normal, die Streuung schrumpft wie σ/√n.

NeuBeliebtKinder

Galtonbrett (Bohnenmaschine)

Simulation starten

Kugeln springen links oder rechts durch Nagelreihen; die Fächer füllen eine Binomialverteilung, die zur Glockenkurve wird. Wenige Reihen gegen viele Reihen.

NeuKinder

Normalverteilung und z-Werte

Simulation starten

Glockenkurve mit μ und σ; schattierte Flanken, die Regel 68–95–99.7 und ein eingebauter Umrechner x → z = (x − μ)/σ.

NeuSchule

Konfidenzintervall

Simulation starten

Stichprobe ziehen und ein Intervall zu 90/95/99 % für μ bilden; 100-mal wiederholen und zählen, wie viele Intervalle das wahre Mittel treffen.

NeuSchule

Der p-Wert

Simulation starten

Teststatistik auf der Dichte unter der Nullhypothese; die schattierte ein- oder zweiseitige Flanke ist der p-Wert. Warum er nicht die Wahrscheinlichkeit ist, dass H₀ wahr ist.

Gesetz der großen Zahlen

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen

Ähnliche Simulationen

Binomialverteilung

Zentraler Grenzwertsatz

Galtonbrett (Bohnenmaschine)

Normalverteilung und z-Werte

Konfidenzintervall

Der p-Wert

Gesetz der großen Zahlen

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen