- ¿Un intervalo de confianza del 95 % significa que hay un 95 % de probabilidad de que μ esté dentro del intervalo que acabo de calcular?
- No. La media poblacional μ es un número fijo, y el intervalo concreto de la pantalla la contiene o no la contiene; una vez extraída la muestra no queda nada aleatorio. El 95 % describe el procedimiento: si se repite el muestreo muchas veces, cerca del 95 % de los intervalos producidos contendrán μ. El simulador muestra exactamente eso: cada barra es una repetición, y el contador se acerca al 95 % al crecer el número de intervalos, aunque el último intervalo bien puede ser uno de los fallos en rosa.
- ¿Por qué los intervalos se estrechan cuando crece n, y cuánto?
- El semiancho es c·σ/√n (o c·s/√n), así que el ancho se reduce con la raíz cuadrada del tamaño de muestra, no con el propio n. Cuadruplicar n de 20 a 80 reduce el ancho a la mitad; pasar de n = 20 a n = 200 lo reduce por un factor de cerca de √10 ≈ 3,2. En el método t ayuda además un segundo efecto, más pequeño: t* con ν = n − 1 disminuye hacia z* al crecer n, de 2,776 con n = 5 a 2,093 con n = 20 y 1,972 con n = 200 para el nivel del 95 %. La cobertura, en cambio, no cambia con n: un procedimiento correcto del 95 % captura μ cerca del 95 % de las veces tanto si n es 2 como si es 200.
- ¿Por qué la cobertura baja del 95 % cuando marco «Usar z* aunque σ sea desconocida»?
- El intervalo x̄ ± 1,96·s/√n finge que s es la σ verdadera. En una muestra pequeña s es ruidosa de por sí, y como su distribución es sesgada queda por debajo de σ más a menudo que por encima. Siempre que s es demasiado pequeña, el intervalo queda demasiado corto y tiende a no contener μ; el valor z* no lo compensa. El valor crítico de la t de Student sí: es mayor que z* justo en la cantidad necesaria para que P(|x̄ − μ| ≤ t*·s/√n) iguale el nivel nominal. Con n = 5 la diferencia es grande (t* = 2,776 frente a 1,960, y la cobertura de z con s es de cerca del 88 %); con n = 30 es pequeña (2,045 frente a 1,960, cobertura de cerca del 94 %), y de ahí sale la vieja regla práctica «usar z si n ≥ 30».
- ¿Por qué en el método t el intervalo tiene un ancho distinto cada vez, y en el método z todas las barras miden lo mismo?
- En el método z el semiancho z*·σ/√n solo usa constantes conocidas, así que todos los intervalos tienen la misma longitud y solo se mueve su centro x̄. En el método t el semiancho t*·s/√n usa la desviación estándar muestral s, que se recalcula con cada muestra nueva; s fluctúa alrededor de σ, con fuerza si n es pequeño y poco si n es grande, así que las barras tienen longitudes distintas. El ancho medio que muestra el panel es, por tanto, algo distinto de t*·σ/√n, porque la esperanza de s es un poco menor que σ (el factor c₄ vale 0,940 con n = 5 y 0,987 con n = 20).