- Bedeutet ein 95-%-Konfidenzintervall, dass μ mit Wahrscheinlichkeit 95 % in dem Intervall liegt, das ich gerade berechnet habe?
- Nein. Das Mittel μ der Grundgesamtheit ist eine feste Zahl, und das konkrete Intervall auf dem Bildschirm enthält es oder nicht; nach dem Ziehen der Stichprobe bleibt nichts Zufälliges übrig. Die 95 % beschreiben das Verfahren: wiederholt man das Ziehen viele Male, enthalten etwa 95 % der erzeugten Intervalle μ. Der Simulator zeigt genau das — jeder Balken ist eine Wiederholung, und der Zähler nähert sich 95 %, während die Zahl der Intervalle wächst, auch wenn das jüngste Intervall durchaus einer der rosa Fehltreffer sein kann.
- Warum werden die Intervalle schmaler, wenn n wächst, und um wie viel?
- Die halbe Breite ist c·σ/√n (oder c·s/√n), die Breite schrumpft also mit der Wurzel der Stichprobengröße, nicht mit n selbst. Vervierfacht man n von 20 auf 80, halbiert sich die Breite; von n = 20 auf n = 200 schrumpft sie um etwa den Faktor √10 ≈ 3,2. Beim t-Verfahren kommt ein zweiter, kleinerer Effekt hinzu: t* mit ν = n − 1 sinkt mit wachsendem n gegen z*, von 2,776 bei n = 5 über 2,093 bei n = 20 auf 1,972 bei n = 200, jeweils für das 95-%-Niveau. Die Überdeckung ändert sich dagegen nicht mit n — die Intervalle eines korrekten 95-%-Verfahrens enthalten μ in etwa 95 % der Fälle, ob n gleich 2 oder 200 ist.
- Warum fällt die Überdeckung unter 95 %, wenn ich „z* verwenden, obwohl σ unbekannt ist“ ankreuze?
- Das Intervall x̄ ± 1,96·s/√n tut so, als sei s das wahre σ. In einer kleinen Stichprobe schwankt s selbst stark, und weil die Verteilung von s schief ist, fällt es häufiger unter σ als über σ aus. Ist s zu klein, wird das Intervall zu kurz und verfehlt μ eher; der Wert z* gleicht das nicht aus. Der kritische Wert der t-Verteilung von Student tut es: er ist um genau den Betrag größer als z*, der nötig ist, damit P(|x̄ − μ| ≤ t*·s/√n) dem nominellen Niveau gleicht. Bei n = 5 ist der Abstand groß (t* = 2,776 gegen 1,960, und die Überdeckung von z mit s liegt bei etwa 88 %); bei n = 30 ist er klein (2,045 gegen 1,960, Überdeckung etwa 94 %). Daher die alte Faustregel „für n ≥ 30 das z verwenden“.
- Warum hat das Intervall beim t-Verfahren jedes Mal eine andere Breite, während beim z-Verfahren alle Balken gleich lang sind?
- Beim z-Verfahren verwendet die halbe Breite z*·σ/√n nur bekannte Konstanten, jedes Intervall hat also dieselbe Länge und nur seine Mitte x̄ wandert. Beim t-Verfahren verwendet die halbe Breite t*·s/√n die Stichprobenstandardabweichung s, die für jede neue Stichprobe neu berechnet wird; s schwankt um σ, stark bei kleinem n und schwach bei großem n, die Balken sind also verschieden lang. Die in der Anzeige genannte mittlere Breite weicht daher leicht von t*·σ/√n ab, weil der Erwartungswert von s ein wenig unter σ liegt (der Faktor c₄ ist 0,940 bei n = 5 und 0,987 bei n = 20).