Um intervalo de confiança de 95 % significa que há 95 % de probabilidade de μ estar dentro do intervalo que acabei de calcular?

Não. A média da população μ é um número fixo, e o intervalo específico na tela ou o contém ou não o contém; depois de extraída a amostra não resta nada de aleatório. Os 95 % descrevem o procedimento: se a amostragem se repete muitas vezes, cerca de 95 % dos intervalos produzidos contêm μ. O simulador mostra exatamente isso — cada barra é uma repetição, e o contador se aproxima de 95 % à medida que cresce o número de intervalos, ainda que o intervalo mais recente bem possa ser uma das falhas rosa.

Por que os intervalos ficam mais estreitos quando n cresce, e em quanto?

A meia-largura é c·σ/√n (ou c·s/√n), de modo que a largura encolhe com a raiz quadrada do tamanho da amostra, e não com o próprio n. Quadruplicar n de 20 para 80 reduz a largura à metade; passar de n = 20 a n = 200 a reduz por um fator de cerca de √10 ≈ 3,2. No método t um segundo efeito, menor, também ajuda: t* com ν = n − 1 diminui em direção a z* quando n cresce, de 2,776 em n = 5 a 2,093 em n = 20 e 1,972 em n = 200, no nível de 95 %. A cobertura, porém, não muda com n — um procedimento correto de 95 % captura μ cerca de 95 % das vezes, quer n seja 2, quer seja 200.

Por que a cobertura cai abaixo de 95 % quando marco «Usar z* mesmo com σ desconhecido»?

O intervalo x̄ ± 1,96·s/√n finge que s é o σ verdadeiro. Numa amostra pequena, s é ruidoso por si e, como a distribuição de s é assimétrica, fica abaixo de σ com mais frequência do que acima. Sempre que s é pequeno demais, o intervalo fica curto demais e tende a não conter μ; o valor z* não compensa isso. O valor crítico da t de Student compensa: ele é maior que z* exatamente o necessário para que P(|x̄ − μ| ≤ t*·s/√n) iguale o nível nominal. Em n = 5 a folga é grande (t* = 2,776 contra 1,960, e a cobertura do z com s fica em cerca de 88 %); em n = 30 ela é pequena (2,045 contra 1,960, cobertura cerca de 94 %), e é daí que vem a velha regra prática «usar z para n ≥ 30».

Por que no método t o intervalo tem uma largura diferente a cada vez, enquanto no método z todas as barras têm o mesmo comprimento?

No método z a meia-largura z*·σ/√n usa só constantes conhecidas, de modo que todo intervalo tem o mesmo comprimento e só o centro x̄ se desloca. No método t a meia-largura t*·s/√n usa o desvio padrão amostral s, recalculado em cada amostra nova; s oscila em torno de σ, forte para n pequeno e fraco para n grande, de modo que as barras têm comprimentos diferentes. A largura média mostrada no painel difere, portanto, um pouco de t*·σ/√n, porque a esperança de s é um pouco menor que σ (o fator c₄ vale 0,940 em n = 5 e 0,987 em n = 20).

Simulador de intervalo de confiança

Extraia uma amostra, monte um intervalo de 90/95/99 % para μ; repita 100 vezes e conte quantos intervalos capturam a média verdadeira.

Amostragem

Tamanho da amostra n20

Nível de confiança

Método

Usar z* mesmo com σ desconhecido (errado de propósito)

Ritmo da amostragem automática3 amostras/s

População

Média da população μ50

DP da população σ10

Cada amostra reúne n extrações independentes da população normal N(μ, σ²). O intervalo é x̄ ± c·σ/√n com c = z* quando σ é tratado como conhecido, ou x̄ ± c·s/√n com c = t* (ν = n − 1) quando σ é estimado pelo DP amostral s. Mudar qualquer ajuste limpa a coleção, para que a contagem da cobertura se refira sempre a um único procedimento fixo. A população é exatamente normal; para dados assimétricos o intervalo t só é aproximadamente válido quando n é pequeno.

Atalhos de teclado

Espaço / Enter — extrair uma amostra
P — amostragem automática liga / desliga
R — reiniciar (semente nova)

Grandezas medidas

Tamanho da amostra n20

Nível de confiança95%

t* (ν = n − 1 = 19)2.0930

Último x̄—

Último DP amostral s—

Última margem de erro—

Último intervalo [inf, sup]—

Intervalos extraídos0

Cobertura (contêm μ)—

Nível nominal95%

Largura média—

Sobre o modelo

O simulador repete muitas vezes um mesmo procedimento fixo. A população é modelada como uma distribuição normal N(μ, σ²) com μ = 50 e σ = 10 por padrão; cada acionamento de Extrair 1 amostra tira n valores independentes dela, calcula a média amostral x̄ = Σxᵢ/n e o desvio padrão amostral s = √(Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1)) e forma um intervalo bilateral para μ. No método z o σ da população é tratado como conhecido e o intervalo é x̄ ± z*·σ/√n, em que z* = Φ⁻¹(1 − α/2) e α = 1 − nível; para 80, 90, 95 e 99 % os valores críticos são 1,2816, 1,6449, 1,9600 e 2,5758. No método t, σ é trocado por s e o valor crítico é o quantil t* da distribuição t de Student com ν = n − 1 graus de liberdade, de modo que P(|T| ≤ t*) = nível. A normal inversa é calculada a partir da aproximação racional de Acklam, refinada por passos de Newton confrontados com a erfc de Cody (precisão dupla completa), e o quantil t pela inversão da função de distribuição acumulada t exata F_ν(t) = 1 − ½·I_{ν/(ν+t²)}(ν/2, ½), em que I é a função beta incompleta regularizada, calculada com a fração contínua de Numerical Recipes; a inversão é uma iteração de Newton com salvaguarda, dentro de um intervalo de bisseção, e concorda com as tabelas t publicadas com erro melhor que 10⁻⁶. Cada intervalo é desenhado como uma barra horizontal centrada no seu x̄, ciano quando contém μ e rosa quando não contém, e um contador informa, ao lado do nível nominal, quantos dos intervalos já desenhados contêm μ. Como o gerador aleatório tem semente, Reiniciar começa uma corrida nova e reproduzível. A caixa de seleção «Usar z* mesmo com σ desconhecido» comete de propósito o erro de manual de juntar o valor crítico da normal com o s da amostra: para n = 5 no nível de 95 % a cobertura realizada cai para cerca de 88 %, porque s subestima σ na maioria das vezes e o valor z* ignora essa incerteza a mais; voltar a t* restaura a cobertura nominal para qualquer n. Simplificações: a população é exatamente normal, as extrações são independentes e os intervalos são bilaterais simétricos; para populações assimétricas ou dados dependentes a cobertura anunciada só vale de forma aproximada, e só para n grande. Simuladores vizinhos: statistics/normal-distribution (o Φ e o Φ⁻¹ usados aqui), statistics/central-limit-theorem (por que x̄ é aproximadamente normal com DP σ/√n), statistics/law-of-large-numbers (como a cobertura acumulada se aproxima do nível nominal) e statistics/p-value e statistics/type-i-ii-errors-power (os mesmos valores críticos usados nos testes de hipóteses).

Para quem: Ensino médio e estatística do primeiro ano da universidade (AP Statistics, A-level, cursos introdutórios de inferência).

Conceitos-chave

intervalo de confiança
nível de confiança
probabilidade de cobertura
média amostral x̄ e erro padrão σ/√n
valor crítico z* e t*
distribuição t de Student e graus de liberdade
margem de erro
distribuição amostral

Como funciona

Cada amostra de tamanho n tirada de uma população normal N(μ, σ²) dá uma média amostral x̄ e um intervalo de confiança x̄ ± c·(escala)/√n; o intervalo muda de amostra para amostra, enquanto μ permanece fixo. O nível de confiança é uma propriedade do procedimento, não de um intervalo isolado: no longo prazo, cerca de 95 % dos intervalos de 95 % contêm μ, e o simulador conta exatamente isso, enquanto se empilham barras ciano (acerto) e rosa (erro). Quando σ é conhecido, o valor crítico z* vem da normal inversa; quando σ é trocado pelo desvio padrão amostral s, a incerteza a mais é paga pelo valor crítico mais largo da t de Student, t*, com ν = n − 1 graus de liberdade. Marque «Usar z* mesmo com σ desconhecido» e veja a cobertura cair abaixo do nível nominal quando n é pequeno — a subcobertura que a distribuição t foi inventada para corrigir. A população é exatamente normal e as extrações são independentes; os intervalos são bilaterais e simétricos.

Fórmulas principais

σ conhecido: x̄ ± z*·σ/√n, z* = Φ⁻¹(1 − α/2), α = 1 − nível

σ desconhecido: x̄ ± t*·s/√n, t* = F⁻¹_ν(1 − α/2), ν = n − 1

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)

F_ν(t) = 1 − ½·I_{ν/(ν+t²)}(ν/2, ½) (beta incompleta regularizada)

Perguntas frequentes

Um intervalo de confiança de 95 % significa que há 95 % de probabilidade de μ estar dentro do intervalo que acabei de calcular?: Não. A média da população μ é um número fixo, e o intervalo específico na tela ou o contém ou não o contém; depois de extraída a amostra não resta nada de aleatório. Os 95 % descrevem o procedimento: se a amostragem se repete muitas vezes, cerca de 95 % dos intervalos produzidos contêm μ. O simulador mostra exatamente isso — cada barra é uma repetição, e o contador se aproxima de 95 % à medida que cresce o número de intervalos, ainda que o intervalo mais recente bem possa ser uma das falhas rosa.
Por que os intervalos ficam mais estreitos quando n cresce, e em quanto?: A meia-largura é c·σ/√n (ou c·s/√n), de modo que a largura encolhe com a raiz quadrada do tamanho da amostra, e não com o próprio n. Quadruplicar n de 20 para 80 reduz a largura à metade; passar de n = 20 a n = 200 a reduz por um fator de cerca de √10 ≈ 3,2. No método t um segundo efeito, menor, também ajuda: t* com ν = n − 1 diminui em direção a z* quando n cresce, de 2,776 em n = 5 a 2,093 em n = 20 e 1,972 em n = 200, no nível de 95 %. A cobertura, porém, não muda com n — um procedimento correto de 95 % captura μ cerca de 95 % das vezes, quer n seja 2, quer seja 200.
Por que a cobertura cai abaixo de 95 % quando marco «Usar z* mesmo com σ desconhecido»?: O intervalo x̄ ± 1,96·s/√n finge que s é o σ verdadeiro. Numa amostra pequena, s é ruidoso por si e, como a distribuição de s é assimétrica, fica abaixo de σ com mais frequência do que acima. Sempre que s é pequeno demais, o intervalo fica curto demais e tende a não conter μ; o valor z* não compensa isso. O valor crítico da t de Student compensa: ele é maior que z* exatamente o necessário para que P(|x̄ − μ| ≤ t*·s/√n) iguale o nível nominal. Em n = 5 a folga é grande (t* = 2,776 contra 1,960, e a cobertura do z com s fica em cerca de 88 %); em n = 30 ela é pequena (2,045 contra 1,960, cobertura cerca de 94 %), e é daí que vem a velha regra prática «usar z para n ≥ 30».
Por que no método t o intervalo tem uma largura diferente a cada vez, enquanto no método z todas as barras têm o mesmo comprimento?: No método z a meia-largura z*·σ/√n usa só constantes conhecidas, de modo que todo intervalo tem o mesmo comprimento e só o centro x̄ se desloca. No método t a meia-largura t*·s/√n usa o desvio padrão amostral s, recalculado em cada amostra nova; s oscila em torno de σ, forte para n pequeno e fraco para n grande, de modo que as barras têm comprimentos diferentes. A largura média mostrada no painel difere, portanto, um pouco de t*·σ/√n, porque a esperança de s é um pouco menor que σ (o fator c₄ vale 0,940 em n = 5 e 0,987 em n = 20).

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