Что такое q-параметр?

**q(z) = z + i z_R** — комплексное число, полностью описывающее гауссов пучок в плоскости **z** относительно пояса. Действительная часть — координата; мнимая — длина Рэлея. Матрицы **ABCD** обновляют **q** за один элемент.

Почему фаза опережает плоскую волну?

Фаза Гуи **ζ(z) = arctan(z/z_R)** добавляет дополнительный сдвиг у фокуса. Она смещает резонансы лазерных полостей и важна в интерферометрах с разной историей фокусировки пучков.

Как моделируется тонкая линза?

Параксиальная матрица **[[1,0],[-1/f,1]]** преобразует **q** в плоскости линзы; участки до и после — **[[1,d],[0,1]]**. Пояс зафиксирован в **z = 0**; линза при **z > 0**.

Что не учтено?

Высшие моды, аберрации, векторная поляризация, термолинза и обрезка апертурой. Среда однородна, **n = 1**.

Гауссов пучок и q-параметр

Пояс w₀, длина Рэлея z_R, фаза Гуи ζ(z), распространение через тонкую линзу (матрица ABCD); w(z) и q в плоскости наблюдения.

Графики

О модели

Параксиальный гауссов пучок задаётся поясом w₀ в z = 0, длиной волны λ и длиной Рэлея z_R = πw₀²/λ. Радиус пучка w(z) = w₀√[1+(z/z_R)²], радиус кривизны фронта R(z) = z[1+(z_R/z)²], фаза Гуи ζ(z) = arctan(z/z_R). Комплексный q-параметр q(z) = z + i z_R кодирует размер и кривизну; распространение через элементы — закон ABCD: q₂ = (A q₁ + B)/(C q₁ + D). Свободное пространство на d: [[1,d],[0,1]]; тонкая линза с f: [[1,0],[-1/f,1]]. Симулятор строит w(z) и ζ(z), опционально пропускает пучок через линзу в заданной z, выводит q, w, R, ζ в плоскости наблюдения — базовый инструмент для фокусировки лазеров, стыковки с волокном и оптических ловушек.

Для кого: Студенты лазерной оптики после тонких линз; перед Фурье-оптикой и модами резонаторов.

Ключевые понятия

Гауссов пучок
Пояс пучка
Длина Рэлея
Фаза Гуи
q-параметр
Матрица ABCD
Тонкая линза
Распространение пучка

Как это работает

w(z), z_R = πw₀²/λ, фаза Гуи ζ = atan(z/z_R) и q = z + i z_R с распространением ABCD (свободное пространство + тонкая линза). Верх — огибающая пучка; низ — ζ(z); графики w и маркер плоскости наблюдения. Связано с [уравнением тонкой линзы](/ru/optics/thin-lens-equation) и [интерферометром Фабри–Перо](/ru/optics/fabry-perot-etalon).

Основные формулы

w(z) = w₀ √(1 + (z/z_R)²) · z_R = π w₀² / λ

ζ(z) = atan(z/z_R) · q₂ = (A q₁ + B)/(C q₁ + D)

Часто задаваемые вопросы

Что такое q-параметр?: q(z) = z + i z_R — комплексное число, полностью описывающее гауссов пучок в плоскости z относительно пояса. Действительная часть — координата; мнимая — длина Рэлея. Матрицы ABCD обновляют q за один элемент.
Почему фаза опережает плоскую волну?: Фаза Гуи ζ(z) = arctan(z/z_R) добавляет дополнительный сдвиг у фокуса. Она смещает резонансы лазерных полостей и важна в интерферометрах с разной историей фокусировки пучков.
Как моделируется тонкая линза?: Параксиальная матрица [[1,0],[-1/f,1]] преобразует q в плоскости линзы; участки до и после — [[1,d],[0,1]]. Пояс зафиксирован в z = 0; линза при z > 0.
Что не учтено?: Высшие моды, аберрации, векторная поляризация, термолинза и обрезка апертурой. Среда однородна, n = 1.