Was ist der q-Parameter?

q(z) = z + i z_R beschreibt den Gaußstrahl in der Ebene z vollständig, bezogen auf die Taille. Der Realteil ist die Koordinate, der Imaginärteil die Rayleigh-Länge. Die ABCD-Matrix aktualisiert q in einem Schritt pro Element.

Warum eilt die Phase der ebenen Welle voraus?

Die Gouy-Phase ζ(z) = arctan(z/z_R) gibt beim Durchgang durch die Taille einen zusätzlichen Versatz. Sie verschiebt die Resonanzen eines Laserresonators und ist wichtig, wenn in einem Interferometer die Bündel unterschiedlich fokussiert wurden.

Wie setzt man eine dünne Linse in den Strahl?

Die paraxiale Matrix [[1, 0], [−1/f, 1]] transformiert q in der Linsenebene; die Strecken davor und danach sind freier Raum [[1, d], [0, 1]]. Die Taille liegt fest bei z = 0; die Linse bei z > 0.

Was ist nicht berücksichtigt?

Höhere Hermite-Gauß-Moden, Aberrationen, vektorielle Polarisation, thermische Linse und Abschneiden an einer Blende. Das Medium ist homogen, n = 1.

Gaußstrahl (q-Parameter)

Strahltaille w₀, Rayleigh-Länge z_R, Gouy-Phase ζ(z), ABCD durch eine dünne Linse; w(z) und q in der Beobachtungsebene.

Diagramme

Zum Modell

Gaußstrahl: im paraxialen Modell ist der Strahl durch die Taille w₀ bei z = 0, die Wellenlänge λ und die Rayleigh-Länge z_R = πw₀²/λ bestimmt. Der Strahlaradius ist w(z) = w₀√[1+(z/z_R)²], der Krümmungsradius der Front R(z) = z[1+(z_R/z)²], die Gouy-Phase ζ(z) = arctan(z/z_R). Der komplexe q-Parameter q(z) = z + i z_R kodiert Größe und Krümmung; durch ein Element mit der Matrix ABCD gilt q₂ = (A q₁ + B)/(C q₁ + D). Freier Raum über die Strecke d hat die Matrix [[1, d], [0, 1]]; eine dünne Linse mit Brennweite f hat [[1, 0], [−1/f, 1]]. Auf dem Bildschirm — w(z), ζ(z) und die Werte q, w, R, ζ in der Beobachtungsebene; die Linse kann man auf ein gewähltes z setzen. Höhere Moden, Aberrationen und Inhomogenität des Mediums entfallen.

Für wen: Laseroptik im Grundstudium nach der dünnen Linse: Gaußstrahl, Rayleigh-Länge, ABCD-Matrizen.

Wichtige Begriffe

Gaußstrahl
Strahltaille
Rayleigh-Länge
Gouy-Phase
q-Parameter
ABCD-Matrix
dünne Linse

So funktioniert es

Radius w(z), Rayleigh-Länge z_R = πw₀²/λ, Gouy-Phase ζ = arctan(z/z_R) und q = z + i z_R mit dem ABCD-Gesetz (freier Raum und dünne Linse). Oben die Strahlhülle, unten ζ(z); die Marke kennzeichnet die Beobachtungsebene.

Wichtige Gleichungen

w(z) = w₀ √(1 + (z/z_R)²) · z_R = π w₀² / λ

ζ(z) = atan(z/z_R) · q₂ = (A q₁ + B)/(C q₁ + D)

Häufige Fragen

Was ist der q-Parameter?: q(z) = z + i z_R beschreibt den Gaußstrahl in der Ebene z vollständig, bezogen auf die Taille. Der Realteil ist die Koordinate, der Imaginärteil die Rayleigh-Länge. Die ABCD-Matrix aktualisiert q in einem Schritt pro Element.
Warum eilt die Phase der ebenen Welle voraus?: Die Gouy-Phase ζ(z) = arctan(z/z_R) gibt beim Durchgang durch die Taille einen zusätzlichen Versatz. Sie verschiebt die Resonanzen eines Laserresonators und ist wichtig, wenn in einem Interferometer die Bündel unterschiedlich fokussiert wurden.
Wie setzt man eine dünne Linse in den Strahl?: Die paraxiale Matrix [[1, 0], [−1/f, 1]] transformiert q in der Linsenebene; die Strecken davor und danach sind freier Raum [[1, d], [0, 1]]. Die Taille liegt fest bei z = 0; die Linse bei z > 0.
Was ist nicht berücksichtigt?: Höhere Hermite-Gauß-Moden, Aberrationen, vektorielle Polarisation, thermische Linse und Abschneiden an einer Blende. Das Medium ist homogen, n = 1.

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