¿Qué es el parámetro q?

q(z) = z + i z_R describe por completo el haz gaussiano en el plano z respecto a la cintura. La parte real es la coordenada; la imaginaria, la longitud de Rayleigh. La matriz ABCD actualiza q en un solo elemento.

¿Por qué la fase se adelanta respecto a una onda plana?

La fase de Gouy ζ(z) = arctan(z/z_R) da un desfase extra al pasar por la cintura. Desplaza las resonancias del resonador láser y importa si en un interferómetro los haces se enfocaron de distinta manera.

¿Cómo se hace pasar el haz por una lente delgada?

La matriz paraxial [[1, 0], [−1/f, 1]] transforma q en el plano de la lente; los tramos de antes y después son espacio libre [[1, d], [0, 1]]. La cintura está fija en z = 0; la lente, en z > 0.

¿Qué no está incluido?

Modos superiores de Hermite–Gauss, aberraciones, polarización vectorial, lente térmica y recorte por una abertura. El medio es homogéneo, n = 1.

Haz gaussiano y parámetro q

Cintura w₀, longitud de Rayleigh z_R, fase de Gouy ζ(z), ABCD a través de una lente delgada; w(z) y q en el plano de observación.

Gráficas

Sobre el modelo

Un haz gaussiano en aproximación paraxial queda determinado por la cintura w₀ en z = 0, la longitud de onda λ y la longitud de Rayleigh z_R = πw₀²/λ. El radio del haz es w(z) = w₀√[1+(z/z_R)²], el radio de curvatura del frente R(z) = z[1+(z_R/z)²], la fase de Gouy ζ(z) = arctan(z/z_R). El parámetro q complejo q(z) = z + i z_R codifica el tamaño y la curvatura; a través de un elemento con matriz ABCD: q₂ = (A q₁ + B)/(C q₁ + D). El espacio libre a distancia d es la matriz [[1, d], [0, 1]]; una lente delgada de foco f es [[1, 0], [−1/f, 1]]. En pantalla, w(z), ζ(z) y los valores de q, w, R, ζ en el plano de observación; la lente se puede colocar a un z elegido. No entran modos superiores, aberraciones ni inhomogeneidad del medio.

Para quién: Óptica láser de facultad, después de las lentes delgadas: haz gaussiano, longitud de Rayleigh, matrices ABCD.

Conceptos clave

haz gaussiano
cintura
longitud de Rayleigh
fase de Gouy
parámetro q
matriz ABCD
lente delgada

Cómo funciona

Radio w(z), longitud de Rayleigh z_R = πw₀²/λ, fase de Gouy ζ = arctan(z/z_R) y q = z + i z_R con la ley ABCD (espacio libre y lente delgada). Arriba, la envolvente del haz; abajo, ζ(z); un marcador señala el plano de observación.

Fórmulas principales

w(z) = w₀ √(1 + (z/z_R)²) · z_R = π w₀² / λ

ζ(z) = atan(z/z_R) · q₂ = (A q₁ + B)/(C q₁ + D)

Preguntas frecuentes

¿Qué es el parámetro q?: q(z) = z + i z_R describe por completo el haz gaussiano en el plano z respecto a la cintura. La parte real es la coordenada; la imaginaria, la longitud de Rayleigh. La matriz ABCD actualiza q en un solo elemento.
¿Por qué la fase se adelanta respecto a una onda plana?: La fase de Gouy ζ(z) = arctan(z/z_R) da un desfase extra al pasar por la cintura. Desplaza las resonancias del resonador láser y importa si en un interferómetro los haces se enfocaron de distinta manera.
¿Cómo se hace pasar el haz por una lente delgada?: La matriz paraxial [[1, 0], [−1/f, 1]] transforma q en el plano de la lente; los tramos de antes y después son espacio libre [[1, d], [0, 1]]. La cintura está fija en z = 0; la lente, en z > 0.
¿Qué no está incluido?: Modos superiores de Hermite–Gauss, aberraciones, polarización vectorial, lente térmica y recorte por una abertura. El medio es homogéneo, n = 1.

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