Зачем две линзы?

Первая отображает углы в плоскости объекта на координаты в плоскости Фурье. Вторая возвращает отфильтрованный спектр в плоскость изображения. При шаге f увеличение равно 1, изображение перевёрнуто.

Что делает низкочастотный фильтр?

Блокирует высокие пространственные частоты: изображение размывается, как при свёртке с широкой функцией рассеяния точки.

Что делает высокочастотный фильтр?

Убирает постоянную составляющую и низкие частоты — остаются края и высшие гармоники периодических объектов.

Почему спектр «в пикселях», а не в мм⁻¹?

Это учебное 2D БПФ на сетке 64×64: координаты нормированы. Геометрия 4f (длина 4f) задаётся фокусом f, но шаг по частоте не привязан к реальной λ и размеру кадра.

4f-система (Фурье-оптика)

Объект → линза → плоскость Фурье → пространственный фильтр (НЧ/ВЧ) → линза → изображение; 2D БПФ и круговая апертура.

4f-система

Объект

Фильтр в плоскости Фурье

Радиус апертуры (норм.)0.22

Фокусное расстояние f100mm

Логарифм |спектра|

Параксиальная **4f**: две линзы **f**, расстояния **f** между объектом, **L₁**, плоскостью Фурье и **L₂**; изображение — **ℱ⁻¹{H·G}**. Поле — 2D БПФ × **H(u,v)**.

Измеренные величины

Фокус f100mm

Длина системы 4f400mm

ФильтрНизкочастотный (НЧ)

Отсечка r/R_max0.22

Графики

О модели

4f-система — две линзы с фокусом f: объект в переднем фокусе первой, изображение в заднем фокусе второй; между линзами на расстоянии 2f лежит плоскость Фурье. Поле там пропорционально спектру G(u,v) = ℱ{g}; пространственный фильтр H(u,v) умножает спектр, вторая линза даёт g′ ∝ ℱ⁻¹{H·G} (изображение перевёрнуто). Низкочастотная апертура размывает мелкие детали, высокочастотная подчёркивает края. Модель — дискретное 2D БПФ на сетке 64×64, заготовки объекта (решётка, щель, крест, сетка) и круговые НЧ/ВЧ-фильтры; координаты спектра нормированы. Конечная апертура линз, аберрации и поляризация не учитываются.

Для кого: Вузовская оптика после дифракции Фраунгофера: пространственная фильтрация и теорема о свёртке.

Ключевые понятия

4f-система
Фурье-оптика
плоскость Фурье
пространственный фильтр
низкочастотный фильтр
высокочастотный фильтр
теорема о свёртке

Как это работает

Схема 4f: объект → первая линза → модуль спектра в плоскости Фурье → круговая НЧ- или ВЧ-апертура → вторая линза → интенсивность изображения. Четыре панели и профили центральной строки.

Основные формулы

G(u,v) = ℱ{g} в плоскости Фурье; g′ = ℱ⁻¹{H·G} в изображении

НЧ: |u| < u_c · ВЧ: |u| > u_c · расстояние L₁–L₂ = 2f

Часто задаваемые вопросы

Зачем две линзы?: Первая отображает углы в плоскости объекта на координаты в плоскости Фурье. Вторая возвращает отфильтрованный спектр в плоскость изображения. При шаге f увеличение равно 1, изображение перевёрнуто.
Что делает низкочастотный фильтр?: Блокирует высокие пространственные частоты: изображение размывается, как при свёртке с широкой функцией рассеяния точки.
Что делает высокочастотный фильтр?: Убирает постоянную составляющую и низкие частоты — остаются края и высшие гармоники периодических объектов.
Почему спектр «в пикселях», а не в мм⁻¹?: Это учебное 2D БПФ на сетке 64×64: координаты нормированы. Геометрия 4f (длина 4f) задаётся фокусом f, но шаг по частоте не привязан к реальной λ и размеру кадра.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 50 в «Оптика и свет».

Вся категория →

НовоеШкольные