Зачем две линзы?

**L₁** отображает углы в плоскости объекта на координаты в плоскости Фурье (**ПФ**). **L₂** возвращает отфильтрованный спектр в плоскость изображения (**ОПФ**). При шаге **f** увеличение ×1, изображение перевёрнуто.

Что делает НЧ-фильтр?

Блокирует высокие пространственные частоты — изображение размывается, как при свёртке с широкой функцией рассеяния.

Что делает ВЧ-фильтр?

Убирает постоянную составляющую и низкие частоты — остаются края и высшие гармоники периодических объектов.

Что не учтено?

Конечная апертура линз, аберрации, поляризация, фазовые фильтры. Скалярная монохроматическая параксиальная модель.

4f-система (Фурье-оптика)

Объект → линза → плоскость Фурье → пространственный фильтр (НЧ/ВЧ) → линза → изображение; 2D БПФ и круговая апертура в спектре.

4f-система

Объект

Фильтр в плоскости Фурье

Радиус апертуры (норм.)0.22

Фокусное расстояние f100mm

Логарифм |спектра|

Параксиальная **4f**: две линзы **f**, расстояния **f** между объектом, **L₁**, плоскостью Фурье и **L₂**; изображение — **ℱ⁻¹{H·G}**. Поле — 2D БПФ × **H(u,v)**.

Измеренные величины

Фокус f100mm

Длина системы 4f400mm

ФильтрНизкочастотный (НЧ)

Отсечка r/R_max0.22

Графики

О модели

В классической 4f-схеме прозрачность g(x,y) в переднем фокусе линзы L₁ (фокус f) даёт в заднем фокусе комплексное поле, пропорциональное G(u,v) = ℱ{g} — общей плоскости Фурье между двумя линзами на расстоянии 2f. Пространственный фильтр H(u,v) (диафрагма, щель) умножает спектр; L₂ выполняет обратное преобразование: в заднем фокусе g′ ∝ ℱ⁻¹{H·G} (перевёрнутое изображение). НЧ-апертура размывает мелкие детали; ВЧ подчёркивает края и периодику. Симулятор: дискретное 2D БПФ на сетке 64×64, пресеты объекта (решётка, щель, крест, сетка), круговые НЧ/ВЧ-фильтры, четыре панели (объект, |G|, фильтрованный спектр, |g′|²) и схема лучей. f задаёт геометрию 4f (полная длина 4f); координаты в FFT нормированы — учебная модель теоремы о свёртке.

Для кого: Студенты оптики после дифракции Фраунгофера; перед пространственными модуляторами света.

Ключевые понятия

4f-система
Фурье-оптика
Пространственный фильтр
Плоскость Фурье
Низкочастотный фильтр
Высокочастотный фильтр
Теорема о свёртке
Оптическая обработка

Как это работает

Схема 4f: объект → L₁ → |G| в плоскости Фурье → H (круговая НЧ/ВЧ-апертура) → L₂ → |g′|². Четыре панели и профили центральной строки. Дополняет [дифракцию](/ru/optics/diffraction) и [гауссов пучок](/ru/optics/gaussian-beam-q).

Основные формулы

G(u,v) = ℱ{g} в плоскости Фурье; g′ = ℱ⁻¹{H·G} в изображении

НЧ: |u| < u_c · ВЧ: |u| > u_c · расстояние L₁–L₂ = 2f

Часто задаваемые вопросы

Зачем две линзы?: L₁ отображает углы в плоскости объекта на координаты в плоскости Фурье (ПФ). L₂ возвращает отфильтрованный спектр в плоскость изображения (ОПФ). При шаге f увеличение ×1, изображение перевёрнуто.
Что делает НЧ-фильтр?: Блокирует высокие пространственные частоты — изображение размывается, как при свёртке с широкой функцией рассеяния.
Что делает ВЧ-фильтр?: Убирает постоянную составляющую и низкие частоты — остаются края и высшие гармоники периодических объектов.
Что не учтено?: Конечная апертура линз, аберрации, поляризация, фазовые фильтры. Скалярная монохроматическая параксиальная модель.