O que é o parâmetro q?

q(z) = z + i z_R descreve por completo o feixe gaussiano no plano z em relação à cintura. A parte real é a coordenada; a imaginária, o comprimento de Rayleigh. A matriz ABCD atualiza q num elemento.

Por que a fase adianta em relação à onda plana?

A fase de Gouy ζ(z) = arctan(z/z_R) dá um deslocamento extra ao passar pela cintura. Ela desloca as ressonâncias da cavidade laser e importa se, no interferômetro, os feixes foram focalizados de modos diferentes.

Como se faz o feixe atravessar uma lente delgada?

A matriz paraxial [[1, 0], [−1/f, 1]] transforma q no plano da lente; os trechos antes e depois são espaço livre [[1, d], [0, 1]]. A cintura fica fixa em z = 0; a lente em z > 0.

O que não entra no modelo?

Modos superiores de Hermite–Gauss, aberrações, polarização vetorial, lente térmica e corte pela abertura. O meio é homogêneo, n = 1.

Feixe gaussiano e parâmetro q

Cintura w₀, comprimento de Rayleigh z_R, fase de Gouy ζ(z), ABCD por uma lente delgada; w(z) e q no plano de observação.

Gráficos

Sobre o modelo

O feixe gaussiano e o parâmetro q: no formalismo paraxial o feixe é determinado pela cintura w₀ em z = 0, pelo comprimento de onda λ e pelo comprimento de Rayleigh z_R = πw₀²/λ. O raio do feixe é w(z) = w₀√[1+(z/z_R)²], o raio de curvatura da frente R(z) = z[1+(z_R/z)²], a fase de Gouy ζ(z) = arctan(z/z_R). O parâmetro q complexo q(z) = z + i z_R guarda o tamanho e a curvatura; pelo elemento de matriz ABCD: q₂ = (A q₁ + B)/(C q₁ + D). O espaço livre na distância d é a matriz [[1, d], [0, 1]]; a lente delgada de foco f é [[1, 0], [−1/f, 1]]. Na tela — w(z), ζ(z) e os valores de q, w, R, ζ no plano de observação; a lente pode ser posta num z escolhido. Modos superiores, aberrações e meio não homogêneo não entram.

Para quem: Óptica de lasers da graduação depois das lentes delgadas: feixe gaussiano, comprimento de Rayleigh, matrizes ABCD.

Conceitos-chave

feixe gaussiano
cintura
comprimento de Rayleigh
fase de Gouy
parâmetro q
matriz ABCD
lente delgada

Como funciona

Raio w(z), comprimento de Rayleigh z_R = πw₀²/λ, fase de Gouy ζ = arctan(z/z_R) e q = z + i z_R com a lei ABCD (espaço livre e lente delgada). Em cima — a envoltória do feixe; embaixo — ζ(z); o marcador indica o plano de observação.

Fórmulas principais

w(z) = w₀ √(1 + (z/z_R)²) · z_R = π w₀² / λ

ζ(z) = atan(z/z_R) · q₂ = (A q₁ + B)/(C q₁ + D)

Perguntas frequentes

O que é o parâmetro q?: q(z) = z + i z_R descreve por completo o feixe gaussiano no plano z em relação à cintura. A parte real é a coordenada; a imaginária, o comprimento de Rayleigh. A matriz ABCD atualiza q num elemento.
Por que a fase adianta em relação à onda plana?: A fase de Gouy ζ(z) = arctan(z/z_R) dá um deslocamento extra ao passar pela cintura. Ela desloca as ressonâncias da cavidade laser e importa se, no interferômetro, os feixes foram focalizados de modos diferentes.
Como se faz o feixe atravessar uma lente delgada?: A matriz paraxial [[1, 0], [−1/f, 1]] transforma q no plano da lente; os trechos antes e depois são espaço livre [[1, d], [0, 1]]. A cintura fica fixa em z = 0; a lente em z > 0.
O que não entra no modelo?: Modos superiores de Hermite–Gauss, aberrações, polarização vetorial, lente térmica e corte pela abertura. O meio é homogêneo, n = 1.

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