RK4 integration of ẋ=−y−z, ẏ=x+ay, ż=b+z(x−c); period-doubling cascade as c grows.
О модели
Система Рёсслера — трёхмерная непрерывная динамическая система ẋ = −y − z, ẏ = x + a y, ż = b + z(x − c), дающая знаменитый одноленточный хаотический аттрактор при классических параметрах (часто a = b = 0.2, c ≈ 5.7). Симулятор интегрирует ОДУ методом RK4 и позволяет поднимать c через каскад удвоения периода от периодических орбит к хаосу. Траектории рисуются в фазовом пространстве, чтобы были видны складывание и растяжение аттрактора. Модель — детерминированный хаос ОДУ без шума, без уравнений с запаздыванием и без явного анализа сечений Пуанкаре сверх того, что видно по временному ряду. Меняйте c (и связанные параметры интерфейса), чтобы наблюдать удвоение периода и рождение странного аттрактора.
Для кого: Нелинейная динамика, теория хаоса и курсы прикладной математики / физики по непрерывным аттракторам.
Ключевые понятия
Аттрактор Рёсслера
Хаос
Удвоение периода
Интегрирование RK4
Странный аттрактор
Фазовое пространство
Как это работает
The Rössler system (1976) is a minimal 3-D ODE with a single quadratic nonlinearity *xz* — far simpler than Lorenz, yet it produces a smooth ribbon-like strange attractor at the canonical (a, b, c) = (0.2, 0.2, 5.7). As c grows, you can scroll through a textbook period-doubling cascade (period-1 → 2 → 4 → chaos): pick the presets to feel it. Integration is RK4 with adjustable step.
Основные формулы
ẋ = −y − z
ẏ = x + a y
ż = b + z (x − c)
Часто задаваемые вопросы
Что такое каскад удвоения периода?
При росте параметра вроде c устойчивая периодическая орбита может потерять устойчивость и смениться орбитой удвоенного периода, затем четырёхкратного и т.д. Каскад накапливается при конечном значении параметра, за которым появляется хаос.
Почему RK4, а не простой шаг Эйлера?
Хаотические траектории усиливают локальные ошибки. Метод RK4 с фиксированным шагом достаточно точен на коротких временах для ясной картины аттрактора; грубый Эйлер при том же шаге размазывает или разрушает геометрию.
Чувствительность к начальным условиям — это баг?
Нет — это определение детерминированного хаоса. Две близкие орбиты экспоненциально расходятся на аттракторе, оставаясь при этом в ограниченном фракталоподобном множестве фазового пространства.