¿Qué es una cascada de duplicación de periodo?

Al crecer un parámetro como c, una órbita periódica estable puede perder estabilidad y ceder el lugar a una órbita de periodo doble, luego cuádruple, y así sucesivamente. La cascada se acumula en un valor finito del parámetro, más allá del cual aparece el caos.

¿Por qué Runge–Kutta de 4.º orden y no un paso de Euler?

Las trayectorias caóticas amplifican los errores locales. El método de Runge–Kutta de 4.º orden con paso fijo es lo bastante preciso en tiempos cortos para que la geometría del atractor se lea bien; un Euler tosco con el mismo paso la emborrona o la destruye.

¿La sensibilidad a las condiciones iniciales es un error del esquema?

No: así se define el caos determinista. Dos órbitas cercanas se separan de forma exponencial en el atractor, pero siguen en un conjunto acotado de aspecto fractal en el espacio de fases.

Atractor de Rössler

Integración con el método de Runge–Kutta de 4.º orden del sistema ẋ = −y − z, ẏ = x + ay, ż = b + z(x − c); cascada de duplicación de periodo al crecer c.

Sobre el modelo

El sistema de Rössler es un sistema autónomo tridimensional ẋ = −y − z, ẏ = x + a y, ż = b + z(x − c). Con los parámetros clásicos (a menudo a = b = 0.2, c ≈ 5.7) las trayectorias se enrollan en un atractor caótico de una sola cinta. Las ecuaciones se integran con Runge–Kutta de 4.º orden. El parámetro c se puede llevar por la cascada de duplicación de periodo: de órbitas periódicas estables al atractor extraño. La trayectoria se dibuja en el espacio de fases: se ven el estiramiento y el plegado. El modelo es caos determinista de ecuaciones diferenciales ordinarias: sin ruido, sin retardo y sin una sección de Poincaré aparte. Al variar c se comparan el régimen periódico y el caos.

Para quién: Dinámica no lineal y teoría del caos: atractores continuos, duplicación de periodo.

Conceptos clave

atractor de Rössler
caos determinista
duplicación de periodo
método de Runge–Kutta
atractor extraño
espacio de fases

Cómo funciona

El sistema de Rössler ẋ = −y − z, ẏ = x + ay, ż = b + z(x − c) se integra con Runge–Kutta de 4.º orden. Al crecer c, la órbita periódica recorre la cascada de duplicación de periodo y pasa a un atractor extraño de una sola cinta. En pantalla está la trayectoria en el espacio de fases (x, y, z).

Fórmulas principales

ẋ = −y − z

ẏ = x + a y

ż = b + z (x − c)

Preguntas frecuentes

¿Qué es una cascada de duplicación de periodo?: Al crecer un parámetro como c, una órbita periódica estable puede perder estabilidad y ceder el lugar a una órbita de periodo doble, luego cuádruple, y así sucesivamente. La cascada se acumula en un valor finito del parámetro, más allá del cual aparece el caos.
¿Por qué Runge–Kutta de 4.º orden y no un paso de Euler?: Las trayectorias caóticas amplifican los errores locales. El método de Runge–Kutta de 4.º orden con paso fijo es lo bastante preciso en tiempos cortos para que la geometría del atractor se lea bien; un Euler tosco con el mismo paso la emborrona o la destruye.
¿La sensibilidad a las condiciones iniciales es un error del esquema?: No: así se define el caos determinista. Dos órbitas cercanas se separan de forma exponencial en el atractor, pero siguen en un conjunto acotado de aspecto fractal en el espacio de fases.

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