Qu’est-ce qu’une cascade de doublement de période ?

Quand un paramètre comme c croît, une orbite périodique stable peut perdre sa stabilité et céder la place à une orbite de période double, puis quadruple, et ainsi de suite. La cascade s’accumule à une valeur finie du paramètre, au-delà de laquelle apparaît le chaos.

Pourquoi Runge–Kutta d’ordre 4, et non un pas d’Euler ?

Les trajectoires chaotiques amplifient les erreurs locales. La méthode de Runge–Kutta d’ordre 4 à pas fixe est assez précise sur des temps courts pour que la géométrie de l’attracteur reste lisible ; un Euler trop grossier, au même pas, l’étale ou la détruit.

La sensibilité aux conditions initiales est-elle une erreur du schéma ?

Non : c’est ainsi que l’on définit le chaos déterministe. Deux orbites proches divergent exponentiellement sur l’attracteur, tout en restant dans un ensemble borné, d’allure fractale, de l’espace des phases.

Attracteur de Rössler

Intégration par Runge–Kutta d’ordre 4 du système ẋ = −y − z, ẏ = x + ay, ż = b + z(x − c) ; cascade de doublement de période lorsque c croît.

À propos du modèle

L’attracteur de Rössler est l’ensemble limite du système autonome tridimensionnel ẋ = −y − z, ẏ = x + a y, ż = b + z(x − c). Aux paramètres classiques (souvent a = b = 0.2, c ≈ 5.7), les trajectoires s’enroulent sur un attracteur chaotique en forme de ruban. Les équations s’intègrent par la méthode de Runge–Kutta d’ordre 4. On peut faire parcourir à c la cascade de doublement de période : d’orbites périodiques stables jusqu’à l’attracteur étrange. La trajectoire se trace dans l’espace des phases — on y voit l’étirement et le repliement. Le modèle est le chaos déterministe d’équations différentielles ordinaires : sans bruit, sans retard et sans section de Poincaré à part. En faisant varier c, on compare le régime périodique et le chaos.

Public : Dynamique non linéaire et théorie du chaos : attracteurs continus, doublement de période.

Notions clés

attracteur de Rössler
chaos déterministe
doublement de période
méthode de Runge–Kutta
attracteur étrange
espace des phases

Comment ça marche

Le système de Rössler ẋ = −y − z, ẏ = x + ay, ż = b + z(x − c) s’intègre par la méthode de Runge–Kutta d’ordre 4. Quand c croît, l’orbite périodique traverse la cascade de doublement de période et passe à un attracteur étrange en forme de ruban. À l’écran — la trajectoire dans l’espace des phases (x, y, z).

Formules

ẋ = −y − z

ẏ = x + a y

ż = b + z (x − c)

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’une cascade de doublement de période ?: Quand un paramètre comme c croît, une orbite périodique stable peut perdre sa stabilité et céder la place à une orbite de période double, puis quadruple, et ainsi de suite. La cascade s’accumule à une valeur finie du paramètre, au-delà de laquelle apparaît le chaos.
Pourquoi Runge–Kutta d’ordre 4, et non un pas d’Euler ?: Les trajectoires chaotiques amplifient les erreurs locales. La méthode de Runge–Kutta d’ordre 4 à pas fixe est assez précise sur des temps courts pour que la géométrie de l’attracteur reste lisible ; un Euler trop grossier, au même pas, l’étale ou la détruit.
La sensibilité aux conditions initiales est-elle une erreur du schéma ?: Non : c’est ainsi que l’on définit le chaos déterministe. Deux orbites proches divergent exponentiellement sur l’attracteur, tout en restant dans un ensemble borné, d’allure fractale, de l’espace des phases.

Thèmes proches (y compris d’autres rubriques) — ou les 85 de «Visualisation mathématique».

Toute la catégorie →

NouveauUniversité

Bifurcations de l’application logistique

Lancer la simulation

Application xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) : en abscisse le paramètre r, en ordonnée les valeurs sur l’attracteur. On voit le doublement de période et le chaos (cascade de Feigenbaum).

NouveauUniversité

Attracteur de Lorenz

Lancer la simulation

Système de Lorenz aux paramètres σ, ρ, β : attracteur étrange en « papillon » dans la projection (x, z). Intégration par Runge–Kutta, sensibilité aux conditions initiales.

NouveauUniversité

Euler et RK4 (pendule simple)

Lancer la simulation

Une même équation non linéaire du pendule simple et un même pas h : méthode d’Euler explicite à côté de Runge–Kutta d’ordre 4.

NouveauPopulaireUniversité

Pendule double

Lancer la simulation

Deux pendules couplés : mouvement chaotique et trace de la masse inférieure.

NouveauCollège–lycée

SEIR / SEIRS : épidémie

Lancer la simulation

S + E + I + R = 1 : la latence σE retarde la contagiosité, guérison γI ; optionnellement ωR → S ; ℛ₀ = β/γ ; graphe RK4.

NouveauUniversité

Chaîne alimentaire à trois espèces (Hastings–Powell)

Lancer la simulation

x→y→z, réponses de Holling II, logistique pour x ; chaos en variant b₁ ; RK4, plans de phase.

Attracteur de Rössler

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes

Simulations voisines

Bifurcations de l’application logistique

Attracteur de Lorenz

Euler et RK4 (pendule simple)

Pendule double

SEIR / SEIRS : épidémie

Chaîne alimentaire à trois espèces (Hastings–Powell)

Attracteur de Rössler

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes