O que é a cascata de duplicação de período?

Quando cresce um parâmetro como c, uma órbita periódica estável pode perder a estabilidade e ser substituída por uma órbita de período dobrado, depois quádruplo, e assim por diante. A cascata se acumula num valor finito do parâmetro, além do qual aparece o caos.

Por que Runge–Kutta de ordem 4, e não um passo de Euler?

As trajetórias caóticas amplificam os erros locais. O método de Runge–Kutta de ordem 4 com passo fixo é preciso o bastante em tempos curtos para a geometria do atrator permanecer legível; o Euler grosseiro, no mesmo passo, espalha ou destrói essa geometria.

A sensibilidade às condições iniciais é erro do esquema?

Não: é assim que se define o caos determinístico. Duas órbitas próximas divergem exponencialmente no atrator, permanecendo num conjunto limitado, de aparência fractal, do espaço de fases.

Atrator de Rössler

Integração por Runge–Kutta de ordem 4 do sistema ẋ = −y − z, ẏ = x + ay, ż = b + z(x − c); cascata de duplicação de período quando c cresce.

Sobre o modelo

O atrator de Rössler é o conjunto limite do sistema autônomo tridimensional ẋ = −y − z, ẏ = x + a y, ż = b + z(x − c). Nos parâmetros clássicos (em geral a = b = 0.2 e c ≈ 5.7) as trajetórias se enrolam num atrator caótico em forma de fita. As equações são integradas pelo método de Runge–Kutta de ordem 4. O parâmetro c pode ser levado pela cascata de duplicação de período: de órbitas periódicas estáveis até o atrator estranho. A trajetória é desenhada no espaço de fases — veem-se o estiramento e o dobramento. O modelo é caos determinístico de equações diferenciais ordinárias: sem ruído, sem atraso e sem uma seção de Poincaré à parte. Variando c, comparam-se o regime periódico e o caos.

Para quem: Dinâmica não linear e teoria do caos: atratores contínuos, duplicação de período.

Conceitos-chave

atrator de Rössler
caos determinístico
duplicação de período
método de Runge–Kutta
atrator estranho
espaço de fases

Como funciona

O sistema de Rössler ẋ = −y − z, ẏ = x + ay, ż = b + z(x − c) é integrado pelo método de Runge–Kutta de ordem 4. Ao crescer c, a órbita periódica atravessa a cascata de duplicação de período e passa a um atrator estranho em forma de fita. Na tela — a trajetória no espaço de fases (x, y, z).

Fórmulas principais

ẋ = −y − z

ẏ = x + a y

ż = b + z (x − c)

Perguntas frequentes

O que é a cascata de duplicação de período?: Quando cresce um parâmetro como c, uma órbita periódica estável pode perder a estabilidade e ser substituída por uma órbita de período dobrado, depois quádruplo, e assim por diante. A cascata se acumula num valor finito do parâmetro, além do qual aparece o caos.
Por que Runge–Kutta de ordem 4, e não um passo de Euler?: As trajetórias caóticas amplificam os erros locais. O método de Runge–Kutta de ordem 4 com passo fixo é preciso o bastante em tempos curtos para a geometria do atrator permanecer legível; o Euler grosseiro, no mesmo passo, espalha ou destrói essa geometria.
A sensibilidade às condições iniciais é erro do esquema?: Não: é assim que se define o caos determinístico. Duas órbitas próximas divergem exponencialmente no atrator, permanecendo num conjunto limitado, de aparência fractal, do espaço de fases.

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