Warum wandert der Punkt auf dem Mohrschen Kreis um 2θ?

In den Transformationsgleichungen des Tensors stehen cos 2θ und sin 2θ. Deshalb erscheint die körperliche Drehung des Elements um θ als Bewegung auf dem Kreis um den doppelten Winkel.

Sagt der Kreis Fließen oder Bruch voraus?

Nein. Er transformiert nur den lokalen ebenen Spannungszustand. Über die Festigkeit entscheidet man, indem man σ1, σ2 und τmax mit einer Hypothese vergleicht: größte Hauptspannung, Tresca oder von Mises.

Was bedeutet ein negativer Winkel θp?

θp ist der Winkel von der x-Achse zur ersten Hauptrichtung. Das Vorzeichen folgt aus tan(2θp) = 2τxy/(σx − σy); in Lehrbüchern kann die Vorzeichenregel für τ anders gewählt sein, der Kreis bleibt derselbe.

Mohrscher Spannungskreis

Ebener Spannungszustand σx, σy, τxy: Mohrscher Kreis, Spannungen am gedrehten Element, Hauptspannungen, τmax und Winkel θp.

Der Mohrsche Kreis ist die grafische Form derselben Drehgleichungen des Tensors. Hier gilt ein lokaler ebener Spannungszustand; Festigkeitshypothesen, räumliche Spannungen, Plastizität und Spannungskonzentrationen werden nicht abgebildet.

Diagramme

Zum Modell

Der Mohrsche Spannungskreis ist die grafische Form der Transformation des Spannungstensors im ebenen Spannungszustand. Aus den Normalspannungen σx, σy und der Schubspannung τxy folgen das Zentrum C = (σx + σy)/2 und der Radius R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²); daraus ergeben sich sofort die Hauptspannungen σ1, σ2 = C ± R und die größte Schubspannung in der Ebene τmax = R. Eine Drehung des körperlichen Elements um den Winkel θ entspricht einem Weg des Punktes auf dem Kreis um 2θ: in den Formeln stehen cos 2θ und sin 2θ. Zu sehen sind das gedrehte Element und der Punkt in der σ–τ-Ebene; die Schaltflächen setzen die Hauptebene oder die Ebene größter Schubspannung. Das ist eine lokale elastische Transformation: Festigkeitshypothesen, Spannungen senkrecht zur Ebene, Kerben, Plastizität und Anisotropie fehlen.

Für wen: Festigkeitslehre und Maschinenelemente: ebener Spannungszustand, Hauptebenen.

Wichtige Begriffe

mohrscher spannungskreis
spannungstransformation
hauptspannungen
größte schubspannung
ebener spannungszustand
hauptebene

So funktioniert es

Zentrum C = (σx + σy)/2, Radius R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²). Hauptspannungen σ1,2 = C ± R, größte Schubspannung in der Ebene τmax = R. Die Drehung des Elements um θ entspricht der Bewegung auf dem Mohrschen Kreis um 2θ; die Schaltflächen setzen die Hauptebene oder die Ebene größter Schubspannung.

Wichtige Gleichungen

C = (σx + σy)/2, R = sqrt(((σx − σy)/2)^2 + τxy^2)

σ1,2 = C ± R; tan(2θp) = 2τxy/(σx − σy); τmax = R

Häufige Fragen

Warum wandert der Punkt auf dem Mohrschen Kreis um 2θ?: In den Transformationsgleichungen des Tensors stehen cos 2θ und sin 2θ. Deshalb erscheint die körperliche Drehung des Elements um θ als Bewegung auf dem Kreis um den doppelten Winkel.
Sagt der Kreis Fließen oder Bruch voraus?: Nein. Er transformiert nur den lokalen ebenen Spannungszustand. Über die Festigkeit entscheidet man, indem man σ1, σ2 und τmax mit einer Hypothese vergleicht: größte Hauptspannung, Tresca oder von Mises.
Was bedeutet ein negativer Winkel θp?: θp ist der Winkel von der x-Achse zur ersten Hauptrichtung. Das Vorzeichen folgt aus tan(2θp) = 2τxy/(σx − σy); in Lehrbüchern kann die Vorzeichenregel für τ anders gewählt sein, der Kreis bleibt derselbe.

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