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Accueil/Ingénierie/Cercle de Mohr et transformation des contraintes

Cercle de Mohr et transformation des contraintes

État de contraintes planes σx, σy, τxy : cercle de Mohr, contraintes sur l’élément tourné, contraintes principales, τmax et angle θp.

État de contraintes initial

80 MPa
-20 MPa
35 MPa

Rotation de l’élément

24°

Un θ positif tourne l’élément physique ; sur le cercle de Mohr, le point correspondant parcourt l’angle 2θ. Les signes de τ peuvent différer d’un manuel à l’autre.

Mesures

Contrainte principale σ191.0MPa
Contrainte principale σ2-31.0MPa
Cisaillement max. τmax61.0MPa
Angle principal θp17.5°
Transformée σx′89.5MPa
Transformée τx′y′-13.7MPa

Le cercle de Mohr est la forme graphique des mêmes équations de rotation du tenseur. On traite ici un état local de contraintes planes ; les critères de rupture, les contraintes 3D, la plasticité et les concentrations de contraintes ne sont pas modélisés.

Graphiques

À propos du modèle

Le cercle de Mohr est l’écriture graphique de la transformation du tenseur des contraintes en état de contraintes planes. À partir des contraintes normales σx, σy et du cisaillement τxy, le centre C = (σx + σy)/2 et le rayon R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²) donnent tout de suite les contraintes principales σ1, σ2 = C ± R et le cisaillement maximal dans le plan τmax = R. Une rotation physique de l’élément d’un angle θ correspond à un déplacement du point sur le cercle de 2θ : les formules portent cos 2θ et sin 2θ. À l’écran : l’élément tourné et le point dans le plan σ–τ ; les boutons placent la facette principale ou celle de cisaillement maximal. C’est un calcul local élastique de transformation : pas de critère de résistance, ni de contraintes hors plan, ni de concentrateurs, ni de plasticité, ni d’anisotropie.

Public : Résistance des matériaux et construction mécanique : état de contraintes planes, facettes principales.

Notions clés

  • cercle de Mohr
  • transformation des contraintes
  • contraintes principales
  • cisaillement maximal
  • contraintes planes
  • facette principale

Comment ça marche

Centre C = (σx + σy)/2, rayon R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²). Contraintes principales σ1,2 = C ± R, cisaillement maximal dans le plan τmax = R. Une rotation de l’élément de θ correspond à un déplacement du point sur le cercle de Mohr de 2θ ; les boutons placent la facette principale ou celle de cisaillement maximal.

Formules

C = (σx + σy)/2, R = sqrt(((σx − σy)/2)^2 + τxy^2)
σ1,2 = C ± R; tan(2θp) = 2τxy/(σx − σy); τmax = R

Questions fréquentes

Pourquoi le point se déplace-t-il de 2θ sur le cercle de Mohr ?
Dans les formules de transformation du tenseur figurent cos 2θ et sin 2θ. Une rotation physique de l’élément d’un angle θ se lit donc comme un déplacement sur le cercle du double de cet angle.
Le cercle prédit-il la plasticité ou la rupture ?
Non. Il transforme seulement un état local de contraintes planes. Pour juger de la résistance, il faut comparer σ1, σ2 et τmax à un critère : plus grande contrainte principale, Tresca ou von Mises.