Почему закрепления так сильно меняют P_cr?

Форма потери устойчивости ведёт себя так, будто стержень имеет приведённую длину KL. Заделки укорачивают полуволну и повышают P_cr; консоль имеет K = 2 и поэтому заметно меньшую критическую силу.

Если P/P_cr > 1, значит материал потёк?

Не обязательно. Формула Эйлера — потеря устойчивости в упругой идеализации. Реальный стержень может потечь раньше, потерять устойчивость неупруго или определяться несовершенствами и нормативными кривыми гибкости.

Потеря устойчивости стержня Эйлера

Упругая устойчивость сжатого стержня: P_cr = π²EI/(KL)². Граничные условия, коэффициент приведения длины K, первая форма и отношение P/P_cr.

Первая форма потери устойчивости — порог устойчивости, а не предел прочности материала. В реальном проектировании также проверяют текучесть, остаточные напряжения, эксцентриситет, закрепления и нормативные кривые колонн.

Колонна и материал

Длина L3 m

Модуль Юнга E200 GPa

Момент инерции I8500000 mm4

Нагрузка и несовершенство

Осевая нагрузка P900 kN

Начальная кривизна e04 mm

Потеря устойчивости Эйлера — упругий результат для идеальной колонны. Ползунок несовершенства показывает усиление прогиба при P → Pcr; это не расчёт пластического post-buckling по нормам.

Измеренные величины

Коэффициент K1.000

Эффективная длина KL3.00 m

Критическая нагрузка Pcr1864 kN

Усиленный прогиб7.7 mm

Графики

О модели

Задача Эйлера об устойчивости: стройный идеальный стержень при осевом сжатии теряет прямолинейную форму, когда нагрузка достигает критической силы P_cr = π²EI/(KL)². Здесь E — модуль Юнга, I — момент инерции сечения, L — длина, K — коэффициент приведения длины, зависящий от закреплений. Сравниваются шарнир–шарнир (K = 1), консоль (K = 2), заделка–шарнир (K ≈ 0,699) и заделка–заделка (K = 0,5). На экране — первая форма потери устойчивости и усиление начальной кривизны при P → P_cr. Текучести, остаточных напряжений, сдвига, эксцентриситета нагрузки и нормативных кривых гибкости нет: только упругий порог идеального стержня.

Для кого: Сопротивление материалов и строительная механика: устойчивость сжатого стержня, коэффициент приведения длины.

Ключевые понятия

формула Эйлера
критическая сила
коэффициент приведения длины
гибкий стержень
момент инерции сечения
первая форма потери устойчивости

Как это работает

Критическая сила P_cr = π²EI/(KL)². Закрепления задают K: 1 — шарнир–шарнир, 2 — консоль, ≈0,699 — заделка–шарнир, 0,5 — заделка–заделка. Слева — первая форма и усиление начальной кривизны, справа — отношение P/P_cr. При приближении к критической нагрузке прогиб от малого начального искривления резко растёт.

Основные формулы

P_cr = π² E I / (K L)²

Шарнир-шарнир K=1, заделка-свободный K=2, заделка-шарнир K≈0.699, заделка-заделка K=0.5

Часто задаваемые вопросы

Почему закрепления так сильно меняют P_cr?: Форма потери устойчивости ведёт себя так, будто стержень имеет приведённую длину KL. Заделки укорачивают полуволну и повышают P_cr; консоль имеет K = 2 и поэтому заметно меньшую критическую силу.
Если P/P_cr > 1, значит материал потёк?: Не обязательно. Формула Эйлера — потеря устойчивости в упругой идеализации. Реальный стержень может потечь раньше, потерять устойчивость неупруго или определяться несовершенствами и нормативными кривыми гибкости.

Близкие темы рядом (в том числе из смежных разделов) — или все 48 в «Инженерия».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Механика разрушения: Гриффит / K_IC

Запустить симулятор

Трещина нормального отрыва: K_I = Yσ√(πa), сравнение с K_IC, критический размер трещины, критическое напряжение и граница устойчивости роста.

НовоеУниверситет / научные

Модальный анализ балки Эйлера — Бернулли

Запустить симулятор

Первые три изгибные моды: собственные значения λ из граничных условий; f ∝ (λ/L)²√(EI/μ). Шарнир, консоль, жёсткое защемление.

НовоеУниверситет / научные

Сопло де Лаваля: число Маха

Запустить симулятор

Квазиодномерное сужающе-расширяющееся сопло: связь площади и Маха, критическое отношение давлений, дозвуковая и сверхзвуковая ветви и учебный режим с прямым скачком.

НовоеШкольные