Warum ändert die Lagerung P_cr so stark?

Die Knickform verhält sich so, als hätte der Stab die Ersatzlänge KL. Einspannungen verkürzen die Halbwelle und erhöhen P_cr; der Kragträger hat K = 2 und daher eine deutlich kleinere kritische Last.

Heißt P/P_cr > 1, dass der Werkstoff fließt?

Nicht unbedingt. Die Euler-Formel beschreibt den Stabilitätsverlust in der elastischen Idealisierung. Ein wirklicher Stab kann früher fließen, unelastisch knicken oder durch Imperfektionen und normative Knickspannungslinien bestimmt sein.

Was steckt hinter dem Beiwert K?

K kürzt die vier Eulerschen Knickfälle in eine Ersatzlänge KL. Gelenkig–gelenkig entspricht K = 1, der einseitig freie Kragträger K = 2, eingespannt–gelenkig etwa 0,7 und beidseitig eingespannt K = 0,5.

Euler-Knickung

Elastische Stabilität eines gedrückten Stabs: P_cr = π²EI/(KL)². Lagerung, Knicklängenbeiwert K, erste Knickform und Verhältnis P/P_cr.

Die erste Knickform ist eine Stabilitätsschwelle, kein Festigkeitsgrenzwert des Werkstoffs. In der Praxis prüft man zusätzlich Fließen, Eigenspannungen, Exzentrizität, Lagerung und normative Knickspannungslinien.

Diagramme

Zum Modell

Die Euler-Knickung ist der elastische Stabilitätsverlust eines schlanken, idealen Stabs unter axialem Druck: die Geradeform wird unhaltbar, sobald die Last die kritische Kraft P_cr = π²EI/(KL)² erreicht. Dabei ist E der Elastizitätsmodul, I das Flächenträgheitsmoment, L die Länge und K der Knicklängenbeiwert, der von der Lagerung abhängt. Verglichen werden die vier Eulerschen Knickfälle: gelenkig–gelenkig (K = 1), Kragträger (K = 2), eingespannt–gelenkig (K ≈ 0,699) und eingespannt–eingespannt (K = 0,5). Zu sehen sind die erste Knickform und die Verstärkung einer kleinen Anfangskrümmung, wenn P gegen P_cr geht. Fließen, Eigenspannungen, Schub, Lastexzentrizität und normative Knickspannungslinien fehlen: nur die elastische Schwelle des idealen Stabs.

Für wen: Festigkeitslehre und Baustatik: Stabilität des gedrückten Stabs, Knicklängenbeiwert.

Wichtige Begriffe

eulersche knickformel
kritische last
knicklängenbeiwert
schlanker stab
flächenträgheitsmoment
erste knickform

So funktioniert es

Kritische Last P_cr = π²EI/(KL)². Die Lagerung setzt K: 1 — gelenkig–gelenkig, 2 — Kragträger, ≈0,699 — eingespannt–gelenkig, 0,5 — eingespannt–eingespannt. Links die erste Knickform und die Verstärkung der Anfangskrümmung, rechts das Verhältnis P/P_cr. Näher an der kritischen Last wächst die Ausbiegung aus einer kleinen Vorverformung steil an.

Wichtige Gleichungen

P_cr = π² E I / (K L)²

Gelenkig-gelenkig K=1, eingespannt-frei K=2, eingespannt-gelenkig K≈0.699, eingespannt-eingespannt K=0.5

Häufige Fragen

Warum ändert die Lagerung P_cr so stark?: Die Knickform verhält sich so, als hätte der Stab die Ersatzlänge KL. Einspannungen verkürzen die Halbwelle und erhöhen P_cr; der Kragträger hat K = 2 und daher eine deutlich kleinere kritische Last.
Heißt P/P_cr > 1, dass der Werkstoff fließt?: Nicht unbedingt. Die Euler-Formel beschreibt den Stabilitätsverlust in der elastischen Idealisierung. Ein wirklicher Stab kann früher fließen, unelastisch knicken oder durch Imperfektionen und normative Knickspannungslinien bestimmt sein.
Was steckt hinter dem Beiwert K?: K kürzt die vier Eulerschen Knickfälle in eine Ersatzlänge KL. Gelenkig–gelenkig entspricht K = 1, der einseitig freie Kragträger K = 2, eingespannt–gelenkig etwa 0,7 und beidseitig eingespannt K = 0,5.

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