Модальный анализ балки (Эйлера–Бернулли)

Модальный анализ балки исследует собственные изгибные колебания тонких балок — фундаментальную концепцию в динамике сооружений и акустике. Симулятор построен на основе теории балки Эйлера–Бернулли, которая связывает прогиб балки w(x,t) с приложенными нагрузками через дифференциальное уравнение в частных производных: EI * (∂⁴w/∂x⁴) + μ * (∂²w/∂t²) = 0. Здесь E — модуль Юнга, I — осевой момент инерции (изгибная жёсткость), а μ — масса на единицу длины. Решение этого уравнения для свободных колебаний даёт собственные (нормальные) формы колебаний — определённые пространственные формы, в которых балка колеблется на определённых собственных частотах. Симулятор визуализирует первые три изгибные моды для трёх классических граничных условий: шарнирное опирание с двух сторон, консольное закрепление (защемление-свободный край) и жёсткое защемление с двух сторон. Ключевой момент для понимания — связь между граничными условиями, формой моды и длиной волны (λ). Для балки длиной L граничные условия определяют допустимые длины волн (например, λ_n = 2L/n для шарнирного опирания). Собственная частота f_n для каждой моды пропорциональна (λ_n/L)² * √(EI/μ). Это показывает, как частота масштабируется обратно пропорционально квадрату длины волны и прямо пропорционально квадратному корню из отношения жёсткости к массе. Модель упрощает реальность, предполагая линейную упругость, малые прогибы, пренебрежимо малую деформацию сдвига и отсутствие инерции вращения — основные допущения классической теории Эйлера–Бернулли. Также игнорируется демпфирование. Работая с симулятором, студенты учатся предсказывать, как изменение условий опирания меняет формы мод и спектр частот, понимать концепцию узлов мод (точек нулевого смещения) и видят прямое применение задач на собственные значения в сплошных системах.