Почему частота растёт с номером моды?

Высшие моды короче по эффективной длине волны, а f ∝ 1/λ². Балке приходится изгибаться круче, возвращающая сила больше — колебания быстрее.

Чем реальная балка отличается от этой модели?

Есть внутреннее демпфирование. У толстых балок нужны сдвиг и инерция вращения (Тимошенко). Большие прогибы дают геометрическую нелинейность, которой здесь нет.

Зачем инженеру знать изгибные моды?

Чтобы не попасть в резонанс: если частота нагрузки (механизм, ветер, шаги) совпадает с собственной, амплитуда растёт. Так проектируют балки, мосты, крылья и МЭМС.

Почему основная частота консоли ниже, чем у балки с двумя заделками?

Две заделки делают изгибную жёсткость больше, чем у консоли со свободным концом. Частота растёт как √(жёсткость/масса), поэтому f₁ защемлённой балки выше.

Модальный анализ балки Эйлера — Бернулли

Первые три изгибные моды: собственные значения λ из граничных условий; f ∝ (λ/L)²√(EI/μ). Шарнир, консоль, жёсткое защемление.

Балка и материал (Эйлер–Бернулли)

Длина L8 m

Изгибная жёсткость EI4200000 N·m²

Масса на единицу длины μ = ρA48 kg/m

ω_n = (λ_n/L)² √(EI/μ). Шарнир–шарнир: λ_n = nπ. Консоль / защемление: λ_n из таблиц (cos λ cosh λ = ±1).

Граница и мода

Номер моды1

Горячие клавиши

Выберите граничное условие и моду 1–3

Измеренные величины

ГраницаШарнир–шарнир

λ (мода)3.1416

f_n (эта мода)7.260 Hz

ω_n45.62 rad/s

f₁7.260 Hz

f₂29.040 Hz

f₃65.341 Hz

О модели

Свободные изгибные колебания тонкой балки в теории Эйлера — Бернулли подчиняются уравнению EI ∂⁴w/∂x⁴ + μ ∂²w/∂t² = 0, где EI — изгибная жёсткость, μ — масса на единицу длины. Решения — нормальные моды: каждая форма w_n(x) колеблется на своей собственной частоте. Граничные условия (шарнир–шарнир, консоль, защемление–защемление) задают допустимые λ_n; частота f_n ∝ (λ_n/L)² √(EI/μ). Для шарнирной балки λ_n = nπ и формы — синусы. Упрощения теории: линейная упругость, малые прогибы, нет сдвига и инерции вращения (в отличие от Тимошенко), нет демпфирования. На экране недеформированная ось и нормированная форма выбранной моды; меняют L, EI, μ и тип опор.

Для кого: Вузовская динамика сооружений и колебания сплошных систем: изгибные моды балки.

Ключевые понятия

балка Эйлера — Бернулли
нормальная мода
граничные условия
собственная частота
изгибная жёсткость
модальный анализ
консоль

Как это работает

Изгиб балки Эйлера — Бернулли даёт дискретный спектр: ω_n = (λ_n/L)² √(EI/μ), где λ_n берётся из граничных условий (для шарнира λ_n = nπ). На экране первые три формы — шарнир, консоль или двойное защемление. Жёстче или легче балка — выше собственные частоты.

Основные формулы

EI w′′′′ + μ ω² w = 0 → w(x) ∝ sin(nπx/L) для шарнир–шарнир; λ_n из трансцендентных уравнений для других концов.

ω_n = (λ_n/L)² √(EI/μ),   f_n = ω_n/(2π).

Часто задаваемые вопросы

Почему частота растёт с номером моды?: Высшие моды короче по эффективной длине волны, а f ∝ 1/λ². Балке приходится изгибаться круче, возвращающая сила больше — колебания быстрее.
Чем реальная балка отличается от этой модели?: Есть внутреннее демпфирование. У толстых балок нужны сдвиг и инерция вращения (Тимошенко). Большие прогибы дают геометрическую нелинейность, которой здесь нет.
Зачем инженеру знать изгибные моды?: Чтобы не попасть в резонанс: если частота нагрузки (механизм, ветер, шаги) совпадает с собственной, амплитуда растёт. Так проектируют балки, мосты, крылья и МЭМС.
Почему основная частота консоли ниже, чем у балки с двумя заделками?: Две заделки делают изгибную жёсткость больше, чем у консоли со свободным концом. Частота растёт как √(жёсткость/масса), поэтому f₁ защемлённой балки выше.

Близкие темы рядом (в том числе из смежных разделов) — или все 37 в «Волны и звук».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные