Почему аналитическая формула и метод единичной силы дают один ответ?

Оба способа следуют из уравнения Эйлера–Бернулли EI v″ = M. Метод единичной силы через виртуальную работу извлекает перемещение в одной точке, аналитическая формула напрямую интегрирует уравнение балки.

Когда метод единичной силы особенно полезен?

Он удобен для рам, ферм и балок со сложной нагрузкой, когда нужен один конкретный прогиб, а выписывать всю кривую прогиба громоздко.

Прогиб балки: метод единичной силы

Шарнирно опёртая балка Эйлера–Бернулли с силой P и нагрузкой w: аналитический прогиб против интеграла виртуальной работы ∫Mm/EI dx.

Метод единичной силы — это virtual work: реальную эпюру момента умножают на эпюру от единичной силы в точке искомого прогиба. Сдвиг, большие прогибы, текучесть и податливость опор здесь не учитываются.

Графики

О модели

Малый прогиб шарнирно опёртой балки считают двумя эквивалентными способами. Гипотезы Эйлера–Бернулли связывают прогиб с изгибающим моментом: EI v″ = M. Аналитические формулы есть для сосредоточенной силы P в точке a и равномерной нагрузки w по пролёту. Тот же прогиб в точке x0 даёт метод единичной силы (принцип виртуальных работ): δ(x0) = ∫ M(x)m(x;x0)/(EI) dx, где M — эпюра момента от реальной нагрузки, m — момент от единичной силы в x0. Сравнение показывает, зачем энергетический метод удобен, когда выписывать всю кривую прогиба громоздко. Нет сдвиговой деформации, больших прогибов, текучести, осадок опор, переменного EI и динамики.

Для кого: Сопротивление материалов и строительная механика: прогиб балки, метод единичной силы.

Ключевые понятия

прогиб балки
метод единичной силы
виртуальная работа
балка Эйлера–Бернулли
изгибающий момент
жёсткость EI

Как это работает

Для шарнирно опёртой балки прогиб в точке x0 считают двумя способами. Аналитические формулы Эйлера–Бернулли — для P и w; метод единичной силы даёт δ(x0)=∫M(x)m(x)/(EI) dx, где m — эпюра момента от единичной силы в x0. Совпадение результатов показывает принцип виртуальных работ.

Основные формулы

δ(x0) = ∫₀ᴸ M(x) m(x; x0) / (EI) dx

Closed form для UDL: v(x)= w x(L³−2Lx²+x³)/(24EI)

Часто задаваемые вопросы

Почему аналитическая формула и метод единичной силы дают один ответ?: Оба способа следуют из уравнения Эйлера–Бернулли EI v″ = M. Метод единичной силы через виртуальную работу извлекает перемещение в одной точке, аналитическая формула напрямую интегрирует уравнение балки.
Когда метод единичной силы особенно полезен?: Он удобен для рам, ферм и балок со сложной нагрузкой, когда нужен один конкретный прогиб, а выписывать всю кривую прогиба громоздко.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 48 в «Инженерия».

Вся категория →

НовоеШкольные