Почему closed-form и unit-load ответы совпадают?

Оба способа следуют из одного уравнения Euler-Bernoulli EI v″ = M. Метод единичной силы через virtual work извлекает перемещение в одной точке, а closed form напрямую интегрирует уравнение балки.

Когда метод единичной силы особенно полезен?

Он удобен для рам, ферм и балок со сложной нагрузкой, когда нужен один конкретный прогиб, а выписывать всю кривую прогиба громоздко.

Прогиб балки: метод единичной силы

Шарнирно опёртая балка Euler-Bernoulli с силой P и нагрузкой w: closed-form прогиб против интеграла virtual work ∫Mm/EI dx.

Метод единичной силы — это virtual work: реальную эпюру момента умножают на эпюру от единичной силы в точке искомого прогиба. Сдвиг, большие прогибы, текучесть и податливость опор здесь не учитываются.

Графики

О модели

Симулятор сравнивает два эквивалентных способа вычислить малый прогиб шарнирно опёртой балки Euler-Bernoulli. Closed-form формулы применяются для сосредоточенной силы P в точке a и равномерной нагрузки w по всему пролёту. Тот же прогиб в выбранной точке x0 вычисляется методом единичной силы / virtual work: δ(x0) = ∫ M(x)m(x;x0)/(EI) dx, где M — реальная эпюра изгибающего момента, а m — момент от единичной силы в точке x0. Сравнение делает энергетический метод наглядным и показывает, почему unit-load integration полезен там, где closed forms неудобны. Модель не включает сдвиговую деформацию, большие прогибы, текучесть, осадки опор, переменное EI и динамику.

Для кого: Строительная механика, сопротивление материалов, гражданское строительство, проектирование механизмов и введение в МКЭ.

Ключевые понятия

Прогиб балки
Метод единичной силы
Виртуальная работа
Балка Euler-Bernoulli
Изгибающий момент

Как это работает

Для шарнирно опёртой балки считается прогиб в точке x0 двумя способами. Closed-form использует формулы Euler-Bernoulli для P и w; метод единичной силы считает δ(x0)=∫M(x)m(x)/(EI) dx, где m — эпюра момента от единичной силы в x0. Совпадение результатов показывает принцип virtual work.

Основные формулы

δ(x0) = ∫₀ᴸ M(x) m(x; x0) / (EI) dx

Closed form для UDL: v(x)= w x(L³−2Lx²+x³)/(24EI)

Часто задаваемые вопросы

Почему closed-form и unit-load ответы совпадают?: Оба способа следуют из одного уравнения Euler-Bernoulli EI v″ = M. Метод единичной силы через virtual work извлекает перемещение в одной точке, а closed form напрямую интегрирует уравнение балки.
Когда метод единичной силы особенно полезен?: Он удобен для рам, ферм и балок со сложной нагрузкой, когда нужен один конкретный прогиб, а выписывать всю кривую прогиба громоздко.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 48 в «Инженерия».

Вся категория →

НовоеШкольные