Почему closed-form и unit-load ответы совпадают?

Оба способа следуют из одного уравнения Euler-Bernoulli EI v″ = M. Метод единичной силы через virtual work извлекает перемещение в одной точке, а closed form напрямую интегрирует уравнение балки.

Когда метод единичной силы особенно полезен?

Он удобен для рам, ферм и балок со сложной нагрузкой, когда нужен один конкретный прогиб, а выписывать всю кривую прогиба громоздко.

Прогиб балки: метод единичной силы

Симулятор сравнивает два эквивалентных способа вычислить малый прогиб шарнирно опёртой балки Euler-Bernoulli. Closed-form формулы применяются для сосредоточенной силы P в точке a и равномерной нагрузки w по всему пролёту. Тот же прогиб в выбранной точке x0 вычисляется методом единичной силы / virtual work: δ(x0) = ∫ M(x)m(x;x0)/(EI) dx, где M — реальная эпюра изгибающего момента, а m — момент от единичной силы в точке x0. Сравнение делает энергетический метод наглядным и показывает, почему unit-load integration полезен там, где closed forms неудобны. Модель не включает сдвиговую деформацию, большие прогибы, текучесть, осадки опор, переменное EI и динамику.

Для кого: Строительная механика, сопротивление материалов, гражданское строительство, проектирование механизмов и введение в МКЭ.

Ключевые понятия

Прогиб балки
Метод единичной силы
Виртуальная работа
Балка Euler-Bernoulli
Изгибающий момент

Метод единичной силы — это virtual work: реальную эпюру момента умножают на эпюру от единичной силы в точке искомого прогиба. Сдвиг, большие прогибы, текучесть и податливость опор здесь не учитываются.

Графики

Как это работает

Для шарнирно опёртой балки считается прогиб в точке x0 двумя способами. Closed-form использует формулы Euler-Bernoulli для P и w; метод единичной силы считает δ(x0)=∫M(x)m(x)/(EI) dx, где m — эпюра момента от единичной силы в x0. Совпадение результатов показывает принцип virtual work.

Основные формулы

δ(x0) = ∫₀ᴸ M(x) m(x; x0) / (EI) dx

Closed form для UDL: v(x)= w x(L³−2Lx²+x³)/(24EI)

Часто задаваемые вопросы

Почему closed-form и unit-load ответы совпадают?: Оба способа следуют из одного уравнения Euler-Bernoulli EI v″ = M. Метод единичной силы через virtual work извлекает перемещение в одной точке, а closed form напрямую интегрирует уравнение балки.
Когда метод единичной силы особенно полезен?: Он удобен для рам, ферм и балок со сложной нагрузкой, когда нужен один конкретный прогиб, а выписывать всю кривую прогиба громоздко.

Другие симуляторы в этой категории — или все 45.

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Контактные напряжения Герца

Шар или цилиндр на плоскости: effective modulus, пятно контакта, пиковое давление p0, упругое сближение и оценка subsurface shear.

Запустить симулятор

НовоеУниверситет / научные

Усталость: S-N кривая и правило Майнера

Basquin S-N кривая с опциональным пределом выносливости, три блока циклической нагрузки и накопленный damage D = Σ n_i/N_i по Palmgren-Miner.

Запустить симулятор

НовоеУниверситет / научные

Виброизоляция: transmissibility

SDOF изолятор при base excitation: transmissibility T(r,ζ), резонансный пик, фазовый сдвиг и зона изоляции выше r = √2.

Запустить симулятор

НовоеУниверситет / научные

Теплообменник ε-NTU

Расчёт parallel/counter-flow теплообменника: NTU = UA/Cmin, capacity ratio Cr, effectiveness, тепловой поток и выходные температуры.

Запустить симулятор

НовоеУниверситет / научные

Сопло де Лаваля: число Маха

Квази-1D converging-diverging сопло: area-Mach relation, критическое pressure ratio, subsonic/supersonic ветви и учебный normal-shock режим.

Запустить симулятор

НовоеУниверситет / научные

Крутильный резонанс трансмиссии

Двухмассовая крутильная трансмиссия: жёсткость и демпфирование вала, угол закрутки, первая собственная форма, резонанс и опциональный backlash deadzone.

Запустить симулятор

Прогиб балки: метод единичной силы

Графики

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Ещё из «Инженерия»

Контактные напряжения Герца

Усталость: S-N кривая и правило Майнера

Виброизоляция: transmissibility

Теплообменник ε-NTU

Сопло де Лаваля: число Маха

Крутильный резонанс трансмиссии

Прогиб балки: метод единичной силы

Графики

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы