Warum liefern analytische Formel und Einheitslastverfahren denselben Wert?

Beide Wege folgen aus der Euler-Bernoulli-Gleichung EI v″ = M. Das Einheitslastverfahren holt die Verschiebung in einem Punkt über die virtuelle Arbeit, die analytische Formel integriert die Balkengleichung unmittelbar.

Wann ist das Einheitslastverfahren besonders nützlich?

Es eignet sich für Rahmen, Fachwerke und Balken mit verwickelter Last, wenn man eine bestimmte Durchbiegung braucht, die ganze Biegelinie aber umständlich wäre.

Warum steht im Integral 1/EI?

Aus EI v″ = M folgt die Krümmung M/EI. Die virtuelle Arbeit der Biegung ist das Integral aus wirklichem Moment mal virtueller Krümmung — bei konstantem EI kann man 1/EI vor das Integral ziehen.

Balkenbiegung: Einheitslastverfahren

Gelenkig gelagerter Euler-Bernoulli-Balken mit Kraft P und Streckenlast w: analytische Durchbiegung gegen das Integral der virtuellen Arbeit ∫Mm/EI dx.

Das Einheitslastverfahren ist virtuelle Arbeit: die wirkliche Momentenlinie wird mit der Momentenlinie einer Einheitskraft an der gesuchten Durchbiegungsstelle multipliziert. Schub, große Durchbiegungen, Fließen und nachgiebige Lagerung bleiben unberücksichtigt.

Diagramme

Zum Modell

Die Balkenbiegung eines gelenkig gelagerten Euler-Bernoulli-Balkens rechnet man auf zwei gleichwertige Arten. Die Hypothesen von Euler–Bernoulli verknüpfen die Durchbiegung mit dem Biegemoment: EI v″ = M. Analytische Formeln gibt es für die Einzellast P im Punkt a und die Gleichstreckenlast w über die Stützweite. Dieselbe Durchbiegung in x0 liefert das Einheitslastverfahren (Prinzip der virtuellen Kräfte): δ(x0) = � x0 liefert das Einheitslastverfahren (Prinzip der virtuellen Kräfte): δ(x0) = ∫ M(x)m(x;x0)/(EI) dx, wobei M die Momentenlinie der wirklichen Last und m das Moment der Einheitskraft in x0 ist. Der Vergleich zeigt, warum das energetische Verfahren praktisch ist, wenn man nicht die ganze Biegelinie hinschreiben will. Schubverformung, große Durchbiegungen, Fließen, Stützensenkung, veränderliches EI und Dynamik fehlen.

Für wen: Festigkeitslehre und Baustatik: Balkendurchbiegung, Einheitslastverfahren.

Wichtige Begriffe

balkendurchbiegung
einheitslastverfahren
virtuelle arbeit
euler-bernoulli-balken
biegemoment
biegesteifigkeit ei

So funktioniert es

Für den gelenkig gelagerten Balken rechnet man die Durchbiegung in x0 auf zwei Arten. Analytische Euler-Bernoulli-Formeln gelten für P und w; das Einheitslastverfahren liefert δ(x0) = ∫ M(x)m(x)/(EI) dx, wobei m die Momentenlinie der Einheitskraft in x0 ist. Die Übereinstimmung zeigt das Prinzip der virtuellen Arbeiten.

Wichtige Gleichungen

δ(x0) = ∫₀ᴸ M(x) m(x; x0) / (EI) dx

Analytisch für Gleichstreckenlast: v(x)= w x(L³−2Lx²+x³)/(24EI)

Häufige Fragen

Warum liefern analytische Formel und Einheitslastverfahren denselben Wert?: Beide Wege folgen aus der Euler-Bernoulli-Gleichung EI v″ = M. Das Einheitslastverfahren holt die Verschiebung in einem Punkt über die virtuelle Arbeit, die analytische Formel integriert die Balkengleichung unmittelbar.
Wann ist das Einheitslastverfahren besonders nützlich?: Es eignet sich für Rahmen, Fachwerke und Balken mit verwickelter Last, wenn man eine bestimmte Durchbiegung braucht, die ganze Biegelinie aber umständlich wäre.
Warum steht im Integral 1/EI?: Aus EI v″ = M folgt die Krümmung M/EI. Die virtuelle Arbeit der Biegung ist das Integral aus wirklichem Moment mal virtueller Krümmung — bei konstantem EI kann man 1/EI vor das Integral ziehen.

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