Por que a fórmula analítica e o método da carga unitária dão o mesmo resultado?

Os dois caminhos saem da equação de Euler–Bernoulli EI v″ = M. O método da carga unitária, pelo trabalho virtual, extrai o deslocamento num ponto; a fórmula analítica integra direto a equação da viga.

Quando o método da carga unitária é especialmente útil?

É cômodo em pórticos, treliças e vigas com carga complicada, quando se quer uma deflexão concreta e escrever a curva inteira fica trabalhoso.

Deflexão de viga: carga unitária

Viga biapoiada de Euler–Bernoulli com força P e carga w: deflexão analítica contra a integral do trabalho virtual ∫Mm/EI dx.

O método da carga unitária é o trabalho virtual: multiplica-se o diagrama real de momento pelo diagrama da força unitária no ponto da deflexão pedida. Cisalhamento, grandes deflexões, escoamento e flexibilidade dos apoios não entram aqui.

Gráficos

Sobre o modelo

A deflexão de viga pelo método da carga unitária coincide com a fórmula analítica: dois caminhos equivalentes para a pequena deflexão de uma viga biapoiada. As hipóteses de Euler–Bernoulli ligam a deflexão ao momento fletor: EI v″ = M. Há fórmulas analíticas para a força concentrada P no ponto a e para a carga uniforme w no vão. A mesma deflexão em x0 sai do método da carga unitária (princípio dos trabalhos virtuais): δ(x0) = ∫ M(x)m(x;x0)/(EI) dx, em que M é o diagrama de momento da carga real e m o momento da força unitária em x0. A comparação mostra por que o método energético é cômodo quando escrever a curva inteira da deflexão fica trabalhoso. Não há deformação por cisalhamento, grandes deflexões, escoamento, recalque de apoios, EI variável nem dinâmica.

Para quem: Resistência dos materiais e mecânica das estruturas: deflexão de viga, método da carga unitária.

Conceitos-chave

deflexão de viga
método da carga unitária
trabalho virtual
viga de Euler–Bernoulli
momento fletor
rigidez EI

Como funciona

Para a viga biapoiada a deflexão no ponto x0 sai de dois jeitos. As fórmulas analíticas de Euler–Bernoulli valem para P e w; o método da carga unitária dá δ(x0)=∫M(x)m(x)/(EI) dx, em que m é o diagrama de momento da força unitária em x0. A coincidência dos resultados ilustra o princípio dos trabalhos virtuais.

Fórmulas principais

δ(x0) = ∫₀ᴸ M(x) m(x; x0) / (EI) dx

Forma fechada para carga uniforme: v(x)= w x(L³−2Lx²+x³)/(24EI)

Perguntas frequentes

Por que a fórmula analítica e o método da carga unitária dão o mesmo resultado?: Os dois caminhos saem da equação de Euler–Bernoulli EI v″ = M. O método da carga unitária, pelo trabalho virtual, extrai o deslocamento num ponto; a fórmula analítica integra direto a equação da viga.
Quando o método da carga unitária é especialmente útil?: É cômodo em pórticos, treliças e vigas com carga complicada, quando se quer uma deflexão concreta e escrever a curva inteira fica trabalhoso.

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