¿Por qué la fórmula analítica y el método de la carga unitaria dan el mismo resultado?

Ambos siguen de la ecuación de Euler–Bernoulli EI v″ = M. El método de la carga unitaria extrae el desplazamiento en un solo punto por trabajo virtual; la fórmula analítica integra de frente la ecuación de la viga.

¿Cuándo es especialmente útil el método de la carga unitaria?

Conviene en pórticos, armaduras y vigas con carga compleja, cuando se necesita una deflexión concreta y escribir toda la curva es engorroso.

Deflexión de una viga: método de la carga unitaria

Viga de Euler–Bernoulli simplemente apoyada, con fuerza P y carga w: la deflexión analítica frente a la integral de trabajo virtual ∫Mm/EI dx.

El método de la carga unitaria es trabajo virtual: el diagrama real de momento se multiplica por el de una fuerza unitaria en el punto de la deflexión buscada. Aquí no se consideran el cortante, las grandes deflexiones, la fluencia ni la flexibilidad de los apoyos.

Gráficas

Sobre el modelo

La deflexión de una viga simplemente apoyada, si es pequeña, se calcula de dos maneras equivalentes; una de ellas es el método de la carga unitaria. Las hipótesis de Euler–Bernoulli ligan la deflexión con el momento flector: EI v″ = M. Hay fórmulas analíticas para una fuerza concentrada P en el punto a y para una carga uniforme w en todo el claro. La misma deflexión en x0 la da el método de la carga unitaria (principio de los trabajos virtuales): δ(x0) = ∫ M(x)m(x;x0)/(EI) dx, donde M es el diagrama de momento de la carga real y m el momento de una fuerza unitaria en x0. La comparación muestra para qué sirve el método energético cuando escribir toda la curva de deflexión es engorroso. No hay deformación por cortante, grandes deflexiones, fluencia, asentamiento de apoyos, EI variable ni dinámica.

Para quién: Resistencia de materiales y mecánica estructural: deflexión de la viga, método de la carga unitaria.

Conceptos clave

deflexión de una viga
método de la carga unitaria
trabajo virtual
viga de Euler–Bernoulli
momento flector
rigidez EI

Cómo funciona

En una viga simplemente apoyada, la deflexión en el punto x0 se calcula de dos maneras. Las fórmulas analíticas de Euler–Bernoulli cubren P y w; el método de la carga unitaria da δ(x0)=∫M(x)m(x)/(EI) dx, donde m es el diagrama de momento de una fuerza unitaria en x0. Que coincidan ilustra el principio de los trabajos virtuales.

Fórmulas principales

δ(x0) = ∫₀ᴸ M(x) m(x; x0) / (EI) dx

Forma cerrada para carga uniforme: v(x)= w x(L³−2Lx²+x³)/(24EI)

Preguntas frecuentes

¿Por qué la fórmula analítica y el método de la carga unitaria dan el mismo resultado?: Ambos siguen de la ecuación de Euler–Bernoulli EI v″ = M. El método de la carga unitaria extrae el desplazamiento en un solo punto por trabajo virtual; la fórmula analítica integra de frente la ecuación de la viga.
¿Cuándo es especialmente útil el método de la carga unitaria?: Conviene en pórticos, armaduras y vigas con carga compleja, cuando se necesita una deflexión concreta y escribir toda la curva es engorroso.

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