Pourquoi la formule analytique et la méthode de la force unité donnent-elles le même résultat ?

Les deux voies viennent de l’équation d’Euler–Bernoulli EI v″ = M. La méthode de la force unité extrait le déplacement en un point par les travaux virtuels ; la formule analytique intègre directement l’équation de la poutre.

Quand la méthode de la force unité est-elle particulièrement utile ?

Elle convient aux portiques, aux treillis et aux poutres à chargement complexe, lorsqu’on veut une flèche précise et qu’écrire toute la courbe de flèche est lourd.

Flèche d’une poutre : méthode de la force unité

Poutre d’Euler–Bernoulli sur appuis simples, force P et charge w : flèche analytique contre l’intégrale des travaux virtuels ∫Mm/EI dx.

La méthode de la force unité applique les travaux virtuels : on multiplie le diagramme de moment réel par celui d’une force unité au point où l’on cherche la flèche. Cisaillement, grandes flèches, plasticité et souplesse des appuis ne sont pas pris en compte.

Graphiques

À propos du modèle

La flèche d’une poutre sur appuis simples se calcule de deux manières équivalentes, dont la méthode de la force unité. Les hypothèses d’Euler–Bernoulli lient la flèche au moment fléchissant : EI v″ = M. Des formules analytiques existent pour une force concentrée P au point a et une charge répartie uniforme w sur la portée. La même flèche au point x0 s’obtient par la méthode de la force unité (principe des travaux virtuels) : δ(x0) = ∫ M(x)m(x;x0)/(EI) dx, où M est le diagramme de moment de la charge réelle et m le moment dû à une force unité en x0. La comparaison montre pourquoi la méthode énergétique est commode quand écrire toute la courbe de flèche est lourd. Pas de déformation de cisaillement, ni de grandes flèches, ni de plasticité, ni de tassement des appuis, ni d’EI variable, ni de dynamique.

Public : Résistance des matériaux et mécanique des structures : flèche d’une poutre, méthode de la force unité.

Notions clés

flèche d’une poutre
méthode de la force unité
travaux virtuels
poutre d’Euler–Bernoulli
moment fléchissant
rigidité de flexion EI

Comment ça marche

Pour une poutre sur appuis simples, la flèche au point x0 se calcule de deux manières. Formules analytiques d’Euler–Bernoulli pour P et w ; la méthode de la force unité donne δ(x0)=∫M(x)m(x)/(EI) dx, où m est le diagramme de moment dû à une force unité en x0. La coïncidence des résultats illustre le principe des travaux virtuels.

Formules

δ(x0) = ∫₀ᴸ M(x) m(x; x0) / (EI) dx

Charge répartie : v(x)= w x(L³−2Lx²+x³)/(24EI)

Questions fréquentes

Pourquoi la formule analytique et la méthode de la force unité donnent-elles le même résultat ?: Les deux voies viennent de l’équation d’Euler–Bernoulli EI v″ = M. La méthode de la force unité extrait le déplacement en un point par les travaux virtuels ; la formule analytique intègre directement l’équation de la poutre.
Quand la méthode de la force unité est-elle particulièrement utile ?: Elle convient aux portiques, aux treillis et aux poutres à chargement complexe, lorsqu’on veut une flèche précise et qu’écrire toute la courbe de flèche est lourd.

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