Periodic δ-comb model of a 1-D crystal: cos(ka) = cos(qa) + (P/qa) sin(qa). Find allowed energy bands and forbidden gaps from the |·|≤1 corridor, then watch each band fold into the first Brillouin zone k ∈ ±π/a. Free-electron parabola overlaid for reference.
О модели
Модель Кронига–Пенни описывает одномерный кристалл как периодическую гребёнку δ-потенциалов. Допустимые блоховские волновые числа удовлетворяют cos(ka) = cos(qa) + (P/qa) sin(qa), где a — период решётки, q связан с энергией, а P — сила барьеров. Энергии с |правой частью| ≤ 1 образуют зоны; иначе открываются запрещённые щели. Каждая зона затем складывается в первую зону Бриллюэна k ∈ [−π/a, π/a]; для сравнения наложена парабола свободных электронов. Модель — одночастичная, одномерная, с нулевым радиусом периодического потенциала: без фононов, беспорядка и трёхмерной геометрии зоны Бриллюэна. Вы меняете P и a, расширяя или сужая щели и наблюдая, как состояния свободных электронов перестраиваются в блоховские зоны.
Для кого: Физика твёрдого тела и физхимия: почти свободные электроны, теорема Блоха и зонные щели.
Ключевые понятия
Модель Кронига–Пенни
Зона Бриллюэна
Энергетические зоны
Зонная щель
Блоховская волна
Периодический потенциал
Как это работает
Kronig–Penney δ-comb model of 1-D band structure: solve cos(ka) = cos(qa) + (P/qa) sin(qa) graphically, see allowed bands and forbidden gaps, then watch the dispersion E(k) fold into the first Brillouin zone — the canonical introduction to crystal energy bands.
Часто задаваемые вопросы
Почему некоторые энергии запрещены?
Брэгговское отражение от периодической решётки гибридизует бегущие вправо и влево волны вблизи границ зоны. Тогда трансцендентное условие Кронига–Пенни не имеет вещественного k при |cos(qa)+(P/qa)sin(qa)| > 1, и открываются щели. Щели — не «пропущенные» свободные состояния, а следствие рассеяния на решётке.
Что значит свёртка в первую зону Бриллюэна?
Любую блоховскую волну можно пометить приведённым волновым вектором в [−π/a, π/a] плюс номер зоны. Сегменты расширенной зоны свободных электронов отображаются обратно трансляциями обратной решётки G = 2πn/a. Наложенная парабола помогает увидеть, какие куски свободных электронов становятся какими зонами.
Всегда ли больший P даёт большие щели?
Более сильные δ-барьеры (больший |P|) обычно расширяют щели и уплощают зоны, но размеры щелей зависят от энергии через член (P/qa)sin(qa). При особых энергиях синус может подавить возмущение; симулятор явно показывает эту энергетическую зависимость.