Почему акустическая ветвь обращается в ω = 0 при k = 0?

При k = 0 все массы колеблются синфазно — равномерный сдвиг цепочки не растягивает пружины в гармонической модели; это нулевая частота (акустический фонон).

Чем акустическая ветвь отличается от оптической?

На акустической ветви соседи движутся в одном направлении (звук). На оптической подрешётки движутся навстречу друг другу; при k = 0 центр масс неподвижен и ω конечна — типично для ИК-активных мод в ионных кристаллах.

Откуда щель на k = π/a при m ≠ M?

На границе зоны стоячая волна может локализоваться на лёгких или тяжёлых атомах; разные массы расщепляют собственные частоты. При равных массах вырождение восстанавливается и спектр совпадает с моноатомным.

Это то же самое, что зоны Кронига–Пенни для электронов?

Та же идея периодичности и кривых E(k) или ω(k), но фононы — колебания атомов с силами пружин, а Крониг–Пенни — электронные волны в периодическом потенциале.

Дисперсия фононов в одномерной цепочке

Моноатомная ветвь ω = 2√(K/m)|sin(ka/2)| или диатомные акустическая и оптическая ветви; ω(k) и групповая скорость v_g = dω/dk в первой зоне Бриллюэна.

Решётка и пружины

Цепочка

Ветвь в точке k

Масса m (лёгкая)1

Масса M (тяжёлая)2.5

Жёсткость пружины K40

Период решётки a1

Пробный волновой вектор k0.85

Гармоническая 1D цепочка с пружинами K; период a — расстояние между одинаковыми узлами. Диатомная: μ = M/m, щель на k = ±π/a при μ ≠ 1. v_g для диатомной — численно.

Измеренные величины

ω(k)2.008 rad/s

v_g(k)2.304

√(K/m)6.325 rad/s

μ = M/m2.50

Щель при k = π/a3.287 rad/s

Граница зоны π/a3.142

О модели

Колебания решётки в одномерном кристалле обычно вводят на модели цепочки масс, связанных пружинами с ближайшими соседями. В гармоническом приближении уравнения движения дают дисперсию ω(k) — связь угловой частоты с волновым вектором k в первой зоне Бриллюэна. Для моноатомной цепочки (масса m, жёсткость K, период a между эквивалентными узлами) ω(k) = 2√(K/m)|sin(ka/2)| — одна акустическая ветвь: при k → 0 линейна со скоростью звука v_s = a√(K/m), на границе зоны k = ±π/a групповая скорость обращается в ноль. Для диатомной цепочки (массы m и M чередуются, μ = M/m, a — расстояние между одинаковыми массами) появляются две ветви: низкочастотная акустическая (длинноволновое движение «в фазе») и оптическая (подрешётки колеблются «в противофазе»). Аналитически ω²±(k) = (K/m)((1+μ)/μ)[1 ± √(1 − 4μ sin²(ka/2)/(1+μ)²)]. При μ ≠ 1 на k = ±π/a открывается запрещённая щель между ветвями; при μ = 1 щели нет. Групповая скорость v_g = dω/dk показывает скорость переноса волнового пакета. На экране ветви ω(k), пробный k, схема цепочки и значения ω и v_g в точке зондирования — мост к модели Дебая и нейтронному рассеянию.

Для кого: Физика твёрдого тела, материаловедение или физическая химия после структуры кристаллов и перед теплоёмкостью Дебая.

Ключевые понятия

дисперсия фононов
акустическая ветвь
оптическая ветвь
зона Бриллюэна
групповая скорость
диатомная цепочка
модель масс и пружин
колебания решётки

Как это работает

Гармоническая одномерная цепочка масс и пружин: моноатомная ветвь ω = 2√(K/m)|sin(ka/2)|; диатомная (массы m, M, μ = M/m, a между одинаковыми узлами) даёт ω²± = (K/m)((1+μ)/μ)[1 ± √(1 − 4μ sin²(ka/2)/(1+μ)²)]. Знак «−» — акустическая ветвь, «+» — оптическая. Групповая скорость v_g = dω/dk. На границе зоны k = ±π/a при μ ≠ 1 открывается щель между ветвями.

Часто задаваемые вопросы

Почему акустическая ветвь обращается в ω = 0 при k = 0?: При k = 0 все массы колеблются синфазно — равномерный сдвиг цепочки не растягивает пружины в гармонической модели; это нулевая частота (акустический фонон).
Чем акустическая ветвь отличается от оптической?: На акустической ветви соседи движутся в одном направлении (звук). На оптической подрешётки движутся навстречу друг другу; при k = 0 центр масс неподвижен и ω конечна — типично для ИК-активных мод в ионных кристаллах.
Откуда щель на k = π/a при m ≠ M?: На границе зоны стоячая волна может локализоваться на лёгких или тяжёлых атомах; разные массы расщепляют собственные частоты. При равных массах вырождение восстанавливается и спектр совпадает с моноатомным.
Это то же самое, что зоны Кронига–Пенни для электронов?: Та же идея периодичности и кривых E(k) или ω(k), но фононы — колебания атомов с силами пружин, а Крониг–Пенни — электронные волны в периодическом потенциале.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 65 в «Химия».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Блоховские осцилляции и лестница Ванье–Старка

Запустить симулятор

Электрон в постоянном поле E: квазиимпульс k(t), колебания x(t), период Блоха T_B = 2π/(eEa) и лестница Ванье–Старка на конечной цепочке.

НовоеУниверситет / научные

Зонная структура графена

Запустить симулятор

Сотовая решётка, зоны π/π* вдоль Γ–M–K–Γ, конусы Дирака в точках K и K′ при Δ = 0, щель 2Δ от сдвига подрешёток и карта E(k) в зоне Бриллюэна.

НовоеУниверситет / научные

Модель Кронига–Пенни

Запустить симулятор

Периодическая цепочка δ-потенциалов: cos(ka) = cos(qa) + (P/qa) sin(qa). Разрешённые зоны и запрещённые щели при |·| ≤ 1, свёртка каждой зоны в первую зону Бриллюэна k ∈ ±π/a.

НовоеУниверситет / научные

Гауссов волновой пакет

Запустить симулятор

Свободное расплывание: ширина σ(t) из дисперсии при ℏ = m = 1; неопределённость координаты и импульса.

НовоеШкольные

Полимерный клубок

Запустить симулятор

Случайное блуждание на решётке, радиус инерции; ползунок показателя Флори ν для сравнения с идеальным клубком ν = ½.

НовоеУниверситет / научные

Когерентное состояние гармонического осциллятора

Запустить симулятор

Гауссов пакет когерентного состояния |α⟩ в одномерной гармонической яме: ширина σ = 1/√2 постоянна, центр движется по классической орбите ⟨x⟩(t) = √2|α|cos(ωt − φ_α).

Дисперсия фононов в одномерной цепочке

О модели

Как это работает

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Блоховские осцилляции и лестница Ванье–Старка

Зонная структура графена

Модель Кронига–Пенни

Гауссов волновой пакет

Полимерный клубок

Когерентное состояние гармонического осциллятора

Дисперсия фононов в одномерной цепочке

О модели

Как это работает

Часто задаваемые вопросы