Warum sind manche Energien verboten?

Bragg-Reflexion am periodischen Gitter hybridisiert nahe den Zonengrenzen die nach rechts und nach links laufenden Wellen. Dann hat die transzendente Kronig-Penney-Bedingung kein reelles k, sobald |cos(qa)+(P/qa)sin(qa)| > 1 ist, und es öffnen sich Lücken. Die Lücken sind keine „fehlenden“ freien Zustände, sondern Folge der Streuung am Gitter.

Was bedeutet die Faltung in die erste Brillouin-Zone?

Jede Bloch-Welle lässt sich durch einen reduzierten Wellenvektor in [−π/a, π/a] plus eine Bandnummer kennzeichnen. Segmente der erweiterten Zone der freien Elektronen werden durch Translationen des reziproken Gitters G = 2πn/a zurückgeklappt. Die überlagerte Parabel zeigt, welche Stücke des Spektrums freier Elektronen zu welchen Bändern werden.

Gibt ein größeres P immer größere Lücken?

Stärkere δ-Barrieren (größeres |P|) weiten in der Regel die Lücken und flachen die Bänder ab, aber die Lückenbreiten hängen über den Term (P/qa)sin(qa) von der Energie ab. Bei besonderen Energien kann der Sinus die Störung unterdrücken; das sieht man im Diagramm als Funktion der Energie.

Kronig-Penney-Modell

Periodische Kette von δ-Potentialen: cos(ka) = cos(qa) + (P/qa) sin(qa). Erlaubte Bänder und verbotene Lücken bei |·| ≤ 1, Faltung jedes Bandes in die erste Brillouin-Zone k ∈ ±π/a.

Zum Modell

Das Kronig-Penney-Modell beschreibt einen eindimensionalen Kristall als periodischen Kamm von δ-Potentialen. Zulässige Bloch-Wellenzahlen erfüllen cos(ka) = cos(qa) + (P/qa) sin(qa), wobei a die Gitterperiode ist, q mit der Energie zusammenhängt und P die Stärke der Barrieren misst. Energien, bei denen der Betrag der rechten Seite höchstens 1 ist, bilden Bänder; sonst öffnen sich verbotene Lücken. Jedes Band wird in die erste Brillouin-Zone k ∈ [−π/a, π/a] gefaltet; zum Vergleich liegt die Parabel der freien Elektronen darüber. Das Modell ist einteilchenartig, eindimensional und nullreichweitig: ohne Phononen, ohne Unordnung und ohne dreidimensionale Brillouin-Zone. Größeres |P| weitet in der Regel die Lücken und formt die Parabel der freien Elektronen zu Bloch-Bändern um.

Für wen: Festkörperphysik und physikalische Chemie: nahezu freie Elektronen, Bloch-Theorem und Bandlücken.

Wichtige Begriffe

Kronig-Penney-Modell
Brillouin-Zone
Energiebänder
Bandlücke
Bloch-Welle
periodisches Potential

So funktioniert es

Kronig-Penney-Bedingung: cos(ka) = cos(qa) + (P/qa) sin(qa). Ist der Betrag der rechten Seite ≤ 1, gibt es ein reelles k — erlaubtes Band; sonst eine Lücke. Die Bänder werden in die erste Brillouin-Zone [−π/a, π/a] abgebildet. Auf dem Bildschirm die Dispersion E(k), die Lücken und die Parabel der freien Elektronen; Parameter sind die Barrierenstärke P und die Periode a.

Häufige Fragen

Warum sind manche Energien verboten?: Bragg-Reflexion am periodischen Gitter hybridisiert nahe den Zonengrenzen die nach rechts und nach links laufenden Wellen. Dann hat die transzendente Kronig-Penney-Bedingung kein reelles k, sobald |cos(qa)+(P/qa)sin(qa)| > 1 ist, und es öffnen sich Lücken. Die Lücken sind keine „fehlenden“ freien Zustände, sondern Folge der Streuung am Gitter.
Was bedeutet die Faltung in die erste Brillouin-Zone?: Jede Bloch-Welle lässt sich durch einen reduzierten Wellenvektor in [−π/a, π/a] plus eine Bandnummer kennzeichnen. Segmente der erweiterten Zone der freien Elektronen werden durch Translationen des reziproken Gitters G = 2πn/a zurückgeklappt. Die überlagerte Parabel zeigt, welche Stücke des Spektrums freier Elektronen zu welchen Bändern werden.
Gibt ein größeres P immer größere Lücken?: Stärkere δ-Barrieren (größeres |P|) weiten in der Regel die Lücken und flachen die Bänder ab, aber die Lückenbreiten hängen über den Term (P/qa)sin(qa) von der Energie ab. Bei besonderen Energien kann der Sinus die Störung unterdrücken; das sieht man im Diagramm als Funktion der Energie.

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